Entier naturel

suivantes : a°) [pic] ; [pic] b°) Factoriser chacune des expressions suivantes : [pic] ; [pic] ; [pic] Exercice 3 : 1°) Mettre les nombres [pic] et [pic] sous la forme [pic] où a, b et c sont des nombres entiers. 2°) Ecrire les nombres suivants sous la forme [pic] où a, b et c sont des nombres entiers : [pic] ; [pic]. Exercice 4 : Simplifier : [pic] ; [pic]. Exercice 5 : a et b sont des réels positifs non nuls. 1°) Démontrer que si : [pic], alors [pic]. 2°) Démontrer que si : [pic], alors [pic]

éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique L'élève est capable de : * écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000 ; * calculer : addition, soustraction, multiplication ; * diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier) ; * restituer et utiliser les tables d'addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; * calculer mentalement en utilisant des additions

Par conséquent u ln ln 2 − ln 2 = −e ( ) + 1 = −e 2 1 2 : comme u(0) = 1, on a K = -1 et donc 1 1 + 1 = − + 1 = : Proposition 2 Vraie. 2 2 3. On considère la suite ( un ) définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 7 un . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 7 . » Soit P(n) la proposition « 0 ≤ un ≤ 7 ». • • P(0) est vraie puisque u0 = 2 est compris entre 0 et 7. Supposons P(n) vraie cad que 0 ≤ un ≤ 7 : alors 0 ≤ 7un ≤ 49 donc 0 ≤ 7un ≤ 49 puisque la

vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) . x ∈[−1 ,1 ] Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I. I. Polynômes de Tchebychev Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel. 1. Existence et unicité a) Déterminer un polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant

une valeur approchée du réel I à 10−2 π près. 2 Première partie : Phénomène de Gibbs On considère la fonction f dénie sur R impaire et de période 2π vériant : f (t) = 1 pour t ∈ ]0; π[ et f (0) = f (π) = 0. 3. On pose pour tout entier naturel n non nul et t réel, 4 sin[(2k + 1)t] Sn (t) = . π k=0 2k + 1 n−1 Démontrer, à l'aide d'une série de Fourier, que la suite de fonctions (Sn )n≥1 converge simplement vers la fonction f sur R. La convergence est-elle uniforme sur R ? 4. Sur

D’ après CCP 2006 -PSI première épreuve Notations. Pour tout entier naturel n, on note : n! la factorielle de n avec la convention 0! = 1, [j0; nj] l’ ensemble des entiers naturels k véri…ant 0 n k k n, le nombre de parties ayant k éléments d’ ensemble de n éléments, pour k 2 [j0; nj]. un On rappelle : la valeur de n k = n! pour k 2 [j0; nj], k!(n k)! n n X1 1 =1+ + la somme k 2 k=1 En…n, si n est un entier naturel non nul, on note 0 + 1 et on pose n = 0. Objectifs. Dans

30 et 60 personnes. Quelles sont les différentes possibilités ? 10 Nombres parfaits a. Écris la liste de tous les diviseurs de 6. b. Calcule la somme de tous ces diviseurs à l'exception de 6. c. Que remarques-tu ? On appelle nombre parfait tout entier qui a cette particularité. d. Vérifie que 496 est un nombre parfait. e. Trouve tous les nombres parfaits compris entre 20 et 30. 2 Dans chaque cas, écris quatre phrases utilisant les nombres et l'un des mots suivants : diviseur, multiple, divisible

vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de

alors vn tend vers + 3 quand n tend vers + 3. • Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Démontrer que la suite ^q nh , avec q 2 1, a On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : pour limite + 3 . ^1 + ahn H 1 + na . • Déterminer la limite éventuelle d’une suite On peut étudier des situations où intervient géométrique. la limite de la somme des premiers termes d’une suite géométrique. • Utiliser le théorème

géométriques, préciser le premier terme et la raison. 1) un+1 = un + 1 et u0 = -5 2) un = n – 5 1 3) un = n 3 52n+1 4) un = 2× 3(n+1) 7 Exercice 2 : étude d'une suite du type un+1 = a×un + b × Soit la suite (un) définie par u1 = 2 et, pour tout entier n de un+1 = 3un – 2. On considère la suite (vn) définie sur V* par vn = un + α (avec α ∈ Y). 1) Déterminer α pour que (vn) soit une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. 2) Ecrire vn, puis un en fonction de n