Entier relatif

appelée fonction exponentielle, on la note exp . Pour plus de lisibilité on note pour tout x, exp(x)ex.  ex 0 exy  Propriétés Par construction, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Pour tout réels x, y et tout entier relatif n ,   e0 1 exy ex.ey   Limites ex  1 ex  exp(x)ex  ex ey ex exn  n eh 1 h     1 xx  lime  lime 0 lim x x h0 Dérivée de la fonction eu u est une fonction dérivable sur

différentes). | Zoom | 2. Qu'est-ce que la fonction partie entière ? • La fonction partie entière associe à chaque nombre positif sa partie entière, située à gauche de la virgule. On la note :. Plus généralement, si x est encadré par deux entiers relatifs consécutifs n et n + 1, la fonction partie entière est définie par E(x) = n avec . Ainsi : E(2,5) = 2 ; E(2) = 2 ; E(−2,5) = −3  car  ; E(−3) = −3. • Sa représentation graphique est une celle d'une fonction constante par intervalles (ou fonction

est une série divergente (série de Bertrand). On admettra (sans démonstration), que la série n ln n 1. PRÉLIMINAIRES 0.1 Montrer que, si (a n ) est à variations bornées alors (a n ) est convergente. 0.2 Prouver l’égalité, valable pour tout entier N : N N n dn = n =1 b n − Nb N+1 . n=1 PARTIE I Dans cette partie, (a n ) est une suite réelle. I.1 Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur la suite (b n ) , pour que la suite (a n ) soit convexe. I.2 On suppose

Maths 5eme Chapitre 1: Opérations sur les nombres entiers et décimaux positifs Calculs avec et sans parenthèsesEffectuer une suite d'opérations ne comportant pas de parenthèses.- Si la suite d'opérations ne comporte que des additions et des soustractions alors il suffit d'effectuer les calculs dans l'ordre où ils sont notésExemple: 2+ 5 + 6 -3 +2 = 7 + 6 - 3 + 2                                      = 13     - 3 + 2                                      =        10   + 2                       

arg(¯) = −θ, arg(−z) = θ + π z • z est r´el si et seulement si θ ≡ 0 (π), z est imaginaire pur si et seulement si θ ≡ e π (π). 2 Deux complexes sont ´gaux si et seulement si ils ont mˆme module et deux de leurs arguments e e diff`rent d’un multiple entier de 2π. e 1.3.2 Complexes de module 1. Forme exponentielle G´om´triquement, on a |z| = OM , o` M est l’image de z ; donc |z| = 1 si et seulement si e e u l’image de z appartient au cercle de centre O et de rayon 1, dit cercle trigonom´trique

SOUS-GROUPES DE (, +) On note (, +) l'ensemble  des entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : · une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x

connaissance requis correspond à celui de classe de troisième et pour certaines questions à celui des classes de seconde et de première. Plus précisément, les champs de connaissance requis sont les suivants : –– –– –– –– –– –– –– entiers relatifs, décimaux, nombres réels, puissances, racines carrées ; pourcentages et proportions ; progressions arithmétique et géométrique ; équations du premier et du second degrés, système d’équations ; analyse combinatoire simple ; propriétés de

discriminant ∆. Si ∆ < 0 pas de factorisation sauf si évidente… Si ∆ = 0 alors P(x) = a(x + b 2 2a ) Si ∆ > 0 et si les deux acines sont x' et x" alors P(x) = a(x – x')(x – x") IV] Propriétés des puissances a et b réels non nuls, n et p des entiers relatifs alors : a = 1 a xa = a 0 n p n+p (a ) = a n p np an ap =an-p 1 1 La racine carrée correspond à la puissance 2, alors que la racine nième correspond à la puissance n V] Autres rappels Pour qu'un produit de facteurs soit

d’un nombre relatif est un nombre positif. 42 2 a. 3 et – 3. b. 1,42 = 1,96 ; 1,52 = 2,25 ; 1,412 = 1,988 1 ; 1,422 = 2,016 4 ; 1,4142 = 1,999 396 ; 1,4152 = 2,002 225. 1,414 213 5622 est un nombre décimal avec 18 chiffres après la virgule, le dernier étant égal à 4. Ce nombre n’est pas égal à 2. Donc c n’est égal à aucun de ces nombres. c. Le nombre négatif dont le carré est 2 est – 12. 1 2 1 3 a. (12)2 = 2 ; (610,5)2 = 10,5 ; = . 3 3 b. • 481 = 9 : nombre entier. • 61,21 = 1

fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions : • Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b) • f’(0) = 1 Propriétés : Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 1/3 Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif : • • • Remarque : Pour tout réel a : Donc pour tout réel a, exp(a)>0. Notations : On pose : Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose : Propriétés : III . Etude de la fonction exponentielle : Théorème : La fonction