Entier relatif

123 126 42 43 44 45 Dénombrement 1re année 131 134 Ensembles 1re année Groupes 1re année Applications 1re année Autres structures algébriques 1re année 138 141 Relations 1re année Nombres complexes 1re année Entiers naturels 1re année 128 VI Table des matières 46 47 Exponentielle complexe 1re année 144 48 49 Polynômes 1re année 149 153 Fractions rationnelles 1re année Nombres complexes et géométrie plane 1re année 147

Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie novembre 2003 Exercice 1 Commun tous les candidats 4 points 1. L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale est np. Ici 10 E(S n ) = np = 10 donc p = . Si S n est la variable aléatoire totalisant le nombre n 10 n−k 10 k 1− pour 0 d’accidents, on a P(S n = k) = n p k (1 − p)k = n k k n n k n. 10 n . 2. a. On en déduit que [P(S n = 0)] = n p 0 (1 − p)n = 1 − 0 n En supposant n > 10, on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln

c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible

Chapitre 1 1 Chapitre 2 2 Chapitre 3 Variables al´atoires continues e 3.1. Variables al´atoires continues e D´finition: e On dit qu’une v.a.r X d´finie sur l’espace de probabilit´ (Ω, A, P ), est continue si X(Ω) contient e e au moins un intervalle de R. Remarques: On ne rencontrera dans la suite que des v.a.r. X absoulument continues pour lesquelles, ∀x ∈ R, P (X = x) = 0. Les ´v´nements de probabilit´ non nulles seront donc les e e e intervalle R. Contrairement au cas discret, l’ensemble

Chapitre 1 : Pourcentages . I- Proportion et pourcentages d'évolution. Pourcentage d'une partie par rapport à un taux. A E Définition: Soit A un sous-ensemble d'un ensemble E. Soit nA et nE, les nombres d'éléments des ensembles A et E. La proportion des éléments de A parmi les éléments de l'ensemble E est le quotient P = nA . nE Ce nombre est compris entre 0 et 1 et on peut l'exprimer sous forme de pourcentage. Exemple: Dans une classe de 30 élèves, il y a 21 filles

(4)invariance par multiplication par un entier positif. a ≤ b et c > 0 ⇒ ca ≤ cb (cette propri´t´ d´coule de l’invariance par addition) ee e – (5) changement de sens des in´galit´s quand on prend l’oppos´. a ≤ b ⇒ −b ≤ −a e e e 1) Soit G un ensemble muni d’une loi + et d’une relation d’ordre ≤ ayant les mˆmes e propri´t´s que dans Z. ee Soit n ∈ N. – Si x ≥ 0, 2n > 0 donc 2n .x ≥ 0 donc p = 0 convient ;0 ∈ Pn . – Si x < 0, −x > 0. D’apr`s la propri´t´ A , il existe un entier k > 0/ 2n (−x) ≤ k.u e ee donc

un programme qui saisit un entier et qui affiche sa valeur absolue. Exercice n° 3 Écrire un programme qui saisit des entiers positifs. Le programme s'arrête dès qu'un entier négatif est saisi. Il affiche alors le nombre d'entiers positifs qui ont été saisis. Exercice n° 4 Modifier le programme précédent pour qu'il s'arrête quand ce qui est saisi n'est pas un entier. Exercice n° 5 Modifier le programme de l'exercice précédent pour qu'il affiche le plus grand entier qui a été saisi et la somme

Chiffres du mois 450 millions : le nombre d’exemplaires vendus en France 72.139: le nombre de titres produits 7.630 exemplaires, c’est le tirage moyen d’un livre 705.324références furent crées ‘’L’appel de l’ange’’ de guillaume Musso est le livre le plus vendu en 2012 2.49%: un chiffre assez négatif : il représente la hausse du prix du livre. 1.300.000 liseuses furent vendues en 2012. qjfpjfqipfjfipjqsfipjsfisfpjsqfipjfqsipsfqqsfipsfqipssiqjsij-

Maˆ ıtrise d’informatique 2 001-02 ALGORITHMIQUE ´ NUMERIQUE Notes de Cours Jean-Yves JAFFRAY CHAPITRE OPTIMISATION 1 OPTIMISATION 1 1.1 OPTIMISATION D’UNE FONCTION D’UNE VARIABLE FONCTIONS UNIMODALES Soit f une fonction ` valeurs r´elles d´finie dans un intervalle [a, b] de R. a e e On dit que f passe par un minimum (global ou absolu) en x lorsque x ∈ ˆ [a, b] =⇒ f (x) f (ˆ) ; ce minimum est strict lorsque x = x =⇒ f (x) > f (ˆ) ; x ˆ x et on dit que f passe par un minimum

Méthode 1 : Déterminer l’image ou un antécédent d’un nombre par une fonction définie par un tableau Exemple : On donne un tableau de valeurs de la fonction h. Quelle est l'image de 8 par la fonction h ? Trouve un antécédent de − 125. − 5,25 −3 − 125 − 1,75 3 0 7 2 12,5 5,5 3 8 20 x h(x) − 358 La deuxième ligne du tableau donne l'image de chaque nombre de la première ligne par la fonction h. Pour trouver l'image de 8 : on cherche 8 sur la première ligne du tableau et on lit son image