Espace de Hilbert

et produits scalaires . . . . . 1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets 1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notion de d´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . e e e e e 1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . 1.3.2 D´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . . e e e e e 1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Les espaces H m . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Trace d’une fonction . . . . . . . . . 1.4.3 Espace H1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 0 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6

mesurée. Cela dit, le paradoxe n'est qu'apparent. Il vient du fait que les grandeurs scalaires classiques sont insuffisantes pour décrire la réalité quantique. On doit faire appel à des fonctions d'onde qui sont des vecteurs appartenant à un espace de Hilbert de dimension infinie. Les grandeurs classiques ne sont donc en fait que des vues partielles de l'objet, potentiellement corrélées. Description classique La mécanique classique de Newton affirme que la dynamique de la particule est entièrement

fonctions d'onde qui sont des vecteurs appartenant à un espace de Hilbert de dimension infinie. Les grandeurs classiques ne sont donc en fait que des vues partielles de l'objet, potentiellement corrélées. Notion d'observable[modifier | modifier le code] Très curieusement, une grandeur physique, appelée une observable, n'est plus une fonction f (x,p) réelle, mais est représentée par un opérateur hermitien agissant sur un espace de Hilbert . La valeur de cette grandeur physique est l'une des valeurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 8 8 9 9 Soit V un espace de Hilbert (sur R), K une partie de V , J une fonction définie sur V à valeurs dans R . On dit que u est minimum local de J sur K si u appartient à K et s’il existe un voisinage U de u dans K tel que ∀v ∈ U, J(u) ≤ J(v) (1.1) Si la relation précédente est

rappelle que e F 1 x2 √ exp − 4t 4πt (ξ) = e−4π 2 ξ2 t . 2. Synth`se : v´rifier que la fonction u mise en ´vidence lors de l’analyse est bien solution de e e e l’´quation de la chaleur. e Exercice 11 - Espace de Wiener - Troisi`me ann´e e e On note W = L1 (R) ∩ F(L1 (R)), espace de Wiener constitu´ des fonctions int´grables qui e e sont ´galement la transform´e de Fourier d’une fonction int´grable. e e e ˆ 1. Montrer que f ∈ W ⇐⇒ f ∈ L1 (R) et f ∈ L1 (R). 2. Montrer que f ∈ W =⇒ f ∈ Lp

)||u||H0 (Ω) ||v||H0 (Ω) Ce qui a(u, u)) ≥ αmin(1, σmin )||u||2 1 (Ω) H 0 Ce qui montre que a est coercive. Enfin, le théorème de Cauchy-Schwartz nous donne 1 l(v) ≤ ||v||H0 (Ω) ||f ||L2 Ce qui montre que l est continue 1 H0 (Ω) étant un espace de Hilbert, on a toutes les conditions pour appliquer le théorème de Lax-Milgram, le problème est bien posé et admet une unique solution. 2.4 0 0 Formulation variationnelle discrète : Trouver uh ∈ Vh telle que ∀vh ∈ Vh : α Ω uh vh + σ Ω uh

Définition d'un vecteur : Si l’on a choisi une unité de longueur dans le plan, un vecteur est caractérisé par : sa direction son sens sa norme Exemple : La direction deest la droite (AB). Le sens deest de A vers B. La norme deest la longueur AB. Egalité de vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction

Rappels et compléments CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN A. Les vecteurs 1. Définition : Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tels que les segments [AD] et (BC) ont le même milieu. B A D C 2. Propriété : AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. 3. Remarque : Si AB = CD alors (AB) // (CD) AB = CD . 4. Cas particuliers Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur associé

De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes continue Dans la suite un signal est une fonction de temps t -> f (t) à valeurs numériques. Définition : La transformée de Fourier est une application linéaire, bijective, bicontinue de L² (R) dans L² (R), fonctions de carré sommable f -> ^f définie par ^f(w) = Rfte-iwtdt La transformation réciproque est telle que f(t)= 1/2π ^f(w) e-iwtdw a) La transformation de Fourier est qualifiée pour l’étude des signaux stationnaires

associée. Un autre aspect de la convexité est la notion de point extrémal, présente au chapitre IX (avec le théorème de Krein-Milman sous-jacent) et au chapitre VI avec la caractérisation des points extrémaux de la boule unité des opérateurs sur un Hilbert, qui fait apparaître des phénomènes nouveaux intéressants (co-isométries vraies) en dimension infinie. 2. Topologie : L’utilisation de la compacité apparaît au chapitre VII avec les opérateurs compacts, dont on sait que la théorie spectrale est proche