Espace de Hilbert

Danchin e Ann´e 2009–2010 e 2 Table des mati`res e 1 Un 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 peu de topologie g´n´rale e e D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . e Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . e Topologie produit (hors-programme) Suites des espaces topologiques . . . Compacit´ . . . . . . . . . . . . . . . e 5 5 7 8 9 10 13 13 14 17 18 20 25 25 28 30 32 33 37 37 37 38 39 40 43 43 44 46 49 53 53 55 56 57 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 One class svm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2.2 Algorithme du kernel change detection . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Discrépance moyenne maximale (maximum mean dicrepancy MMD) . . 20 4.3.1 MMD dans un espace de Hilbert à noyau reproduisant . . . . . . 21 5 Évaluation 24 5.1 Données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.1 Feature extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 Test sur des lois de

Laboratoire J.-A. Dieudonn´e, 06108 Nice Cedex 2 Table des mati` eres Pr´ eface 5 1 Espaces m´ etriques 1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 2 Espaces topologiques 2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bouafia e e Nous tenons ` remercier chaleureusement Arnaud Basson, qui nous a encadr´ avec a e constance et nous a orient´ vers des r´sultats fascinants sur les ´quations en dimension e e e infinie. En l’absence de pr´cision, on travaillera sur un espace de probabilit´ (Ω, F, P ). e e Table des mati`res e 1 Introduction 2 L’int´grale d’Itˆ en dimension finie e o 2.1 L’int´grale d’Itˆ pour les fonctions ´l´mentaires . . . . e o ee 2.2 Extension aux fonctions de V(S, T ) . . . . . . . . . . . 2.3

[pic] Cette fonction est appelée l’exponentielle complexe. 2. Intégrales : On la définit comme l’application linéaire [pic] Où[pic]. Et l’intégrale définie[pic]. 3. Espaces de produit interne (Espaces de Hilbert) : Soit H un espace de fonctions (possiblement un espace des vecteurs). Soient f et g deux éléments appartenant à H. On définit un produit interne comme une application , tel que =a+b et =,. On définit ||f||=[pic] la norme de f dans H. Cette quantité exprime

d’Ivoire), E-mail : dongohfranck0@yahoo.fr 2 Université d’Abobo-Adjamé, UFR-SFA, Département de Mathématiques et Informatique, 02 BP 801 Abidjan 02, (Côte d’Ivoire), E-mail : dsangare@yahoo.fr. 1 Université Table des matières Sujet : FONCTIONS DE HILBERT ET LARGEUR ANALYTIQUE DES FILTRATIONS DE MODULES iii PLAN DE L’EXPOSE 1 Filtrations 1.1 Notion de Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Anneau de Rees d’une filtration . . . . . .

Savona Institut de théorie des phénomènes physiques (ITP) Groupe de théorie des nanosystèmes Gaelle Giesen 23 décembre 2011 version préliminaire TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Introduction 2 Rappel d’algèbre linéaire 2.1 Espaces Vectoriels . . . 2.2 Opérateurs linéaires . . 2.3 Changement de base . 2.4 Notation de Dirac . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

la suite de cet article, n´cessite de ree courir ` des m´thodes d’identification ad´quates. Fond´es a e e e sur les travaux pr´curseurs d’Aronszajn [1], les r´centes e e avanc´es de l’estimation fonctionnelle bas´e sur les ese e paces de Hilbert ` noyau reproduisant, et de la th´orie de a e la r´gularisation, ont apport´ des r´ponses convaincantes e e e aux probl`mes implicant des syst`mes non-lin´aires. La e e e strat´gie d’apprentissage en ligne consid´r´e, reposant sur e ee

. . . . . . . . 5.2.2 Op´rateurs sur un espace de Hilbert. Th´or`me spectral. . e e e 5.2.3 Codiagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Norme d’op´rateur. Exponentielle d’op´rateur. . . . . . . e e 5.2.5 Avertissement sur la dimension infinie . . . . . . . . . . . 5.2.6 c-nombres et q-nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Les postulats de la m´canique quantique . . . . . . . . . . . . . . e 5.3.1 Vecteurs d’´tats, Espace des ´tats . . . . . . . . . . . . . e e 5

Soient S un espace mesuré, p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison » f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S). Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme est majorée naturellement : Plus généralement1, pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q. De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il