Espace de Hilbert

Jean-Pierre FOUQUE Docteur ès Sciences Chargé de Recherche au Centre National de la Recherche Scientifique Maître de Conférences à l’École Polytechnique 1. 1.1 1.2 1.3 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3. 3.1 3.2 3.3 4. 4.1 4.2 4.3 5. 5.1 5.2 5.3 5.4 Espaces de probabilités ......................................................................... Définitions .................................................................................................... Calcul combinatoire des probabilités .......

sous forme intégrale, analytique, de séries de Fourier, etc. Ajoutons que dans la « vraie vie » les équations peuvent être non linéaires ! La théorie mathématique pour comprendre ces équations est très large et utilise entre autres les espaces de Hilbert, les espaces de Sobolev, l’analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, etc. 2.2 De Black et Scholes à l’équation de la chaleur Rappelons notre équation de Black et Scholes (ici pas de dividende) (15) ∂V 1 2 2 ∂2V ∂V +rS + σ S −rV = 0 2

Bachelier en 1900 ; le troisième article est encore plus important, car il représente la rupture intuitive d’Einstein avec la physique newtonienne. Dans celui Sur l’électrodynamique des corps en mouvement, le physicien s’attaque au postulat d’un espace et d’un temps absolus, tels que définis par la mécanique de Newton, et à l’existence de l’éther, milieu interstellaire inerte qui devait soutenir la lumière comme l’eau ou l’air soutiennent les ondes sonores dans leurs déplacements. Cet article, publié

2009 U NIVERSITÉ J OSEPH F OURIER , G RENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction 1 Théorie générale de la mesure 1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . 1.2 Définition et exemples de mesures 1.3 Exemple : l’ensemble de Cantor . . 1.4 Complétion des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mathématiques financières ; le troisième article est encore plus important, car il représente la rupture intuitive d’Einstein avec la physique newtonienne. Dans celui Sur l’électrodynamique des corps en mouvement, le physicien s’attaque au postulat d’un espace et d’un temps absolus, tels que définis par la mécanique de Newton, et à l’existence de l’éther, milieu interstellaire inerte qui devait soutenir la lumière comme l’eau ou l’air soutiennent les ondes sonores dans leurs déplacements. Cet article, publié

sens externe”, une structure de la sensibilité elle-même indépendamment de ce qu’elle perçoit, mais sans laquelle aucune perception, et par suite aucune connaissance ne serait possible. Cela permettrait de redonner un caractère de nécessité à cet espace qui semblait se réduire à un simple donné empirique. Pour tenter de démontrer ce postulat, on a inventé au XIXème siècle des géométries forts différentes. Lobatchevsky (1792-1856, russe) a voulu démontrer le postulat d’Euclide par l’absurde. Mais

Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2011 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire . . . . . . . . 1.1.1 Un exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mesures et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Mesurabilit´e et variables al´eatoires . . . . . . . 3.1.2 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Ind´ependance et esp´erance conditionnelle . . . 3.2 Projection dans un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Th´eor`eme de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Un th´eor`eme de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Espaces vectoriels norm´s e Table des mati`res e A. Topologie des espaces vectoriels norm´s e I. Normes 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Distance associ´e ` une norme e a 3) Normes ´quivalentes . . . . . . . . e 4) Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 7 II. D´finitions ensemblistes e 1) Boules, parties

forts développements avec l'introduction de nouvelles structures, abstraites, notamment les groupes suite aux travaux d'Évariste Galois sur les équations polynomiales, ou les anneaux suite aux travaux de Richard Dedekind. Le XIXe siècle voit avec Hilbert et Cantor le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques[réf. nécessaire]. Ce développement de l'axiomatique conduira le XXe siècle à chercher à définir toutes les mathématiques