Espace vectoriel

Chapitre I. G´n´ralit´s sur les espaces vectoriels. e e e Marc de Crisenoy Convention: dans tout le cours, K d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de « vecteurs » dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions, etc. Le problème est que, contrairement à R2 ou R3 , il est difficile de visualiser des vecteurs dans un espace de dimension infinie. . . quand ce sont des fonctions par exemple ! Avoir assimilé la théorie de la dimension finie serait une bonne idée avant d’attaquer ce chapitre.

ESPACE VECTORIEL D´finition e Le¸on # 10 c ´ MATHEMATIQUES BIOTECH 1 Karim L. Trabelsi (ISBP) Institut SupBiotech’ de Paris Villejuif, le 1.2.10 1/5 Introduction - Espaces vectoriels que vous connaissez n = 2 ou 3. (Rn , +, ·) avec 1 Les ´l´ments de Rn sont des vecteurs ` n composantes (coordonn´es). ee a e 2 L’addition conf`re ` Rn une structure de groupe commutatif. e a 1 2 3 4 (x, y , z) + (u, v , w ) = (x + u, y + v , z + w ) ∈ R3 ⇒ + est une lci

choses est de remarquer que u2 n’est pas proportionnel à u1 . Ainsi, (u1 , u2 ) est une famille libre à deux éléments dans R2 , espace de dimension 2. C’est donc une base de E. En particulier, tout vecteur de R2 s’écrit comme combinaison linéaire de u1 et u2 . 2. On ne peut plus avoir de raisonnement abstrait car on travaille avec seulement deux vecteurs dans un espace de dimension 3. L’équation u = xu1 +yu2 équivaut successivement à    x+y = 2  x+y = 2   4x = 7 (L2 + L1 → L2 ) 3x − y = 5 ⇐⇒

FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS 1. Dans l’espace vectoriel F(R, R) de toutes les fonctions d´finies sur R ` valeurs r´elles, muni e a e des lois usuelles, ´tudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de F(R, R) : e F0 = {f | f (0) = 0} , F1 = {f | f (0) = 1} , B = {f born´e} e , S = {f deux fois d´rivable | f + f = 0} e 1 I= E = f continue | 0 f (t) dt = 0 x→±∞ f continue | lim f (x) = 2. On consid`re l’espace vectoriel F(N, R) des suites de nombres r´els

Enoncés Espaces vectoriels 1 Exercice 6 [ 01685 ] [correction] Les parties de F(R, R) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ? Structure d’espace vectoriel Exercice 1 [ 01680 ] [correction] Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) et de la multiplication externe par les complexes définie par : (a + i.b).(x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x). Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci

Espaces vectoriels normés I ) Normes : 1°) Définition : Def : Soit E un K espace vectoriel , on appelle norme sur E toute application de E dans IR+ qui vérifie : N (x)  0  x  0 ( séparation ) x  E,   K : N  x   N x      x, y  E 2 , N x  y  N x  N y        Un espace vectoriel muni d’une norme est appeléespace vectoriel normé

Espaces vectoriels et applications lin´aires e 1 D´finitions e On parle d’espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les d´finitions sont les e mˆmes en substituant R ` C ou vice versa. e a D´finition 1.1. Un espace vectoriel sur R (resp. sur C) est un ensemble E muni de deux e op´rations. e D’abord d’une addition, c’est ` dire qu’` tout couple v, w ∈ E on peut associer v + w ∈ E a a tel que les r`gles de calcul ordinaires dans Rn (resp. Cn ) aient lieu. A savoir e

` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace p . Exemples de parties compactes de 2 ´ Enonc´ e Dual topologique d’un espace compactes de 2 p . Exemples de parties Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) . e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des

01/10/2012 Le recueil de l’information • Les outils – – – – Etude de l’existant Une feuille de papier ou un tableau Dictaphone Processeur de texte Système CASE • Méthodes – Interviews – Séminaires – Lecture de documentation • Recommandations Recueil et spécification des besoins – Etudier la langue professionnelle des clients – Ne pas imposer sa propre opinion – Ne pas commencer depuis un modèle prédéfini. Collecter des objectifs, besoins et information concernant