Espace vectoriel

linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et le calcul matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires. Calcul dans Թ Notions élémentaires sur les ensembles Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (25h) Travaux dirigés (15h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels I- LCI et LCE II- Structure

´nonc´s pourront notamment ˆtre utilis´s dans les le¸ons suivantes : e e e e e c – Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et applications, – Parties convexes, fonctions convexes d’une ou plusieurs variables, applications – Barycentres dans un espace affine r´el de dimension finie ; convexit´. Applications. e e mais aussi, entre autres, – Applications diff´rentiables d´finies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications. e e – Probl`mes d’extremums. e – Continuit´ et d´rivabilit´ des fonctions r´elles

R3 . 1. (a) Montrer que Ker(f ) est une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me e coordonn´e ´gale ` 1. On notera u1 ce vecteur. e e a (b) Donner la dimension et une base de Im(f ). 2. (a) Montrer que {X ∈ R3 / f (X) = 2X} est une droite vectorielle dont donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me coordonn´e ´gale ` 1. On notera u2 ce vecteur. e e e a (b) Montrer que Ker(f + IdE ) est aussi une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant (encore)

Exercice 16 - Un sous-espace vectoriel de matrices - L1/Math Sup Soit E le sous ensemble de M3 (R) d´fini par e a 0 c   E = M (a, b, c) =  0 b 0  : a, b, c ∈ R . c 0 a Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R) stable pour la multiplication des matrices. Calculer dim(E).   Exercice 17 - Matrices sym´triques et anti-sym´triques - Math. Sup e e Montrer que l’ensemble des matrices sym´triques (A = tA) et l’ensemble des matrices e tA) sont deux sous-espaces vectoriels suppl´mentaires de

85 86 . 86 . 88 . 90 . 91 . 94 . 97 . 98 . 99 . 101 29 Espaces vectoriels 30 Applications linéaires 31 Espaces vectoriels de dimension finie 32 Applications linéaires en dimension finie 33 Matrices 34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique .

que les mathématiques sont fortes. Euclide a d’ailleurs été le premier vrai « animateur » des mathématiques (III av JC)  explicitant sa théorie géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Évidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)² < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité

variable réelle à valeurs réelles: limites, continuité, dérivées, formules de Taylor. • Mathématiques pour les sciences : Systèmes d'équations linéaires, méthode du pivot, 3 2 3 sous-espaces vectoriels de R , familles libres, bases des sous-espaces de R et R , produit 3 scalaire canonique de R , produit vectoriel, matrices 2x2 et 3x3, matrices de transformation du plan et de l'espace, déterminants 2x2 et 3x3, diagonalisation des matrices 2x2, équations différentielles linéaires à coefficients constants

. . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments sur les ´l´ments propres e ee . . . . . . . 6 Formes quadratiques et polynˆmes du second degr´ ` variable o e a vectorielle 6.1 Les matrices sym´triques r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2 Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Polynˆmes du second degr´ ` variable vectorielle . . . . . o ea 6.4

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juin 2013 Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E

1 Ex. 12 — Soit Ω un domaine borné et régulier de Rd . On muni H01 (Ω) du produit scalaire << u, v >>1 =< ∇u, ∇v >. 1. Vérifier que H01 (Ω) muni de ce produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien normé. 2. Montrer que toute suite de Cauchy de H01 (Ω) est convergente dans H01 (Ω). En déduire que c’est un espace d’Hilbert. Ex. 13 — Traces,γ0 , H1 (Ω) : On considère les fonctions suivantes : u1 (x) = 2x2 + 3, sur Ω =] − 1, 2[, u2 (x) = tan(x), sur Ω =]0, Π2 [, u3 (x, y) = x2 + y 2 , sur