Extremum

COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ANNEXE 1 : Etude des extremums locaux des fonctions numériques de plusieurs variables réelles. Théorème : Soient U un ouvert de (p ,[pic]: U[pic]( de classe C², [pic][pic]U un point critique de[pic]. Notons Q la forme quadratique définie sur (p par : [pic]h = (h1,…,hp) [pic](p , Q(h) = [pic]hi.hj.[pic]. Si Q est positive et non dégénérée, alors [pic] admet un minimum local strict en [pic] Si Q est négative et non dégénérée, alors [pic] admet un maximum

3.2 extremum local Définition : f est une fonction dérivable sur un intervalle I, c est un point de I. Dire que f (c) est un maximum local (resp. minimum local) signifie que l’on peut trouver un intervalle J inclus dans I et contenant c, tel que, pour tout x de J, f (x) ≤ f (c) (resp. f (x) ≥ f (c)). On appelle extremum local, un maximum ou un minimum local. Théorème : f est une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert, c est un point de I. 1. Si f (c) est un extremum local, alors

R une fonction de classe C 1 , et soit g sa restriction à Sn−1 . Montrer que g admet des extremums. Si x est un extremum, en considérant une application γ comme ci-dessus, montrer qu’il existe un réel λ tel que dfx (h) = λ x, h , (∀h ∈ Rn ) . 5. Soit A une matrice symétrique de Mn (R). On définit f: Rn → R x → x, Ax . 5a. Montrer que f est de classe C 1 et calculer sa différentielle. 5b. Soit x un extremum de la restriction de f à Sn−1 . Montrer que x est vecteur propre de A. Deuxième partie Dans

……………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….. Remarque : Attention réciproque fausse Il peut arriver que f ’(c) = 0 sans que f(c) soit un extremum local de f. Par exemple, si f(x) = x3, alors f ’(0) = 0 et pourtant f(0) = 0 n’est pas un extremum local de f. Exercice : Soit f la fonction définie sur – {1} par f(x) = . Etudier les variations de f puis dresser le tableau de variation de f. …………………………………………………………………………………………………………….

inclus dans les réels * F est dérivable sur un intervalle ouvert a ; b Alors il existe c appartenant à l’intervalle ouvert a ; b tel que F ’(c) = fb-f(a)b-a LA TANGENTE EST DIAGONALE 3. Le rôle de la dérivée première. Découvrir les extremums qui sont liés au changement de signe du graphique f ‘ . Soit f : R →R : x→ f(x) SI * F est continu sur un intervalle fermé a ; b * F est dérivable sur un intervalle ouvert a ; b * F est croissant sur un intervalle ouvert a ; b Alors

:             - connaître le signe de [pic], et ainsi le sens de variation de [pic];             - trouver les valeurs où [pic]s'annule en changeant de signe, pour obtenir ainsi les extremums de [pic]. [pic]Rassembler tous ces résultats dans un tableau de variation. [pic]Celui-ci permet de déterminer si un extremum est un maximum ou un minimum. [pic]Vérifier la cohérence entre :             - les limites obtenues et le sens de variation ;             - les résultats trouvés sur la copie et le

o` la d´riv´e premi`re s’annule. Pour v´rifier s’il s’agit d’un extremum, la m´thode correspondant u e e e e e a ` ce que nous avons entrepris dans R2 est d’´tudier la d´riv´e seconde. Si celle-ci est strictement e e e positive, alors il s’agit d’un minimum local, tandis que dans le cas contraire, c’est un maximum local. Quand la d´riv´e seconde s’annule, le test est inconclusif. Il peut s’agir d’un point d’inflexion, e e d’un extremum ou la fonction peut ˆtre constante au voisinage du point donn´

Factoriser la dérivée afin d'obtenir un quotient ? Effectuer un tableau de signe f'(x) > 0 ? f strictement croissante f'(x) < 0 ? f strictement décroissante ? Calculer les images des points « en hauts et en bas des flèches » c) Extremum local Les extremum local sont les f(x) pour f'(x) = 0 Minimum local: le plus bas Maximum local: le plus haut d) Majorant, minorant Majorant de f sur I: un nombre M tel que pour tout x de I, f(x)? M Minorant de f sur I: un nombre N tel que pour

Exploration/Travail   Exploration : Travail : Notes de cours Activité-1 (p.8); Ai-je bien compris (p.9), Pratique (p.11), #2,3,4,5,6. ~3~ Gilles Dufour Chapitre-I L’analyse des fonctions TS Cours :53 Coordonnées, signes, variations et extremums Coordonnées à l’origine C’est l’endroit où la fonction croise les axes.  Abscisse à l’origine (zéro) : Lorsque ça coupe l’axe des ‘x’. (y=0 ou f(x)=0)  Ordonnée à l’origine (valeur initiale) : Lorsque ça coupe l’axe des ‘y’. (x=0) Exemple (graphique)

Approximation pourcentage Soit n un entier naturel avec n >= 2 et t un réel positif. Pour un taux t faible, n hausses successives de t% équivalent à une hausse de pratiquement nt% Extremum Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et c un élément de I Si f admet en c un extremum local, alors f'(c) = 0 La tangente à la courbe C au point A(c, f(c)) est alors horizontale, puisque de coefficient directeur nul