Extremum

f'(x)= 0 pour tous x appartenant a I, alors f est constante sur I Extremums local Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un reel de I qui n'est pas une borne Propriété : Si f admet un extremum local en a, alors f'(a)= 0 Propriété : Si la dérivé f' de la fonction f s'annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en a. x a x a f'(x) +

s’identi…e au voisinage de M au graphe d’une application de classe C k : U Rn ! R : xn+ Extremums U désigne un ouvert d’un espace normé E et f : U ! R et ,! On dit que fn U tel que 8x 2 V ,! On dit que fn tel que 8x 2 V \ U. admet un maximum local ( ou relatif) en a 2 s’il existe un ouvert V de \ , f (x) f (a). admet un minimum local ( ou relatif)en a 2 s’il existe un ouvert V de U , f (x) f (a). Le mot extremum désigne un maximum ou un minimum. Si V = U; on dit qu’il s’agit d’extremum global ( ou

2.2 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Interprétation graphique . . . . . . 2.2.2 Interprétation numérique . . . . . 2.2.3 Interprétation cinématique . . . . 2.3 Signe de la dérivée, sens de variation . . . 2.4 Dérivée et extremum local . . . . . . . . . 2.5 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . 2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires 2.5.2 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[I] : f'(x) ≥ 0, f est croissante sur [I] f'(x) ≤ 0, f est décroissante sur [I] f'(x) = 0, f est constante sur [I] Faire tableau de signe + variation Extremum f(c) est un extremum local si f'(c) = 0 et si la dérivée change de signe au nombre c. Exemple : f(x) = x²-8x+7 Alors f'(x) = 2x- 8 et f'(4) = 0 f' change de signe en 4 donc f(4) est un extremum local. Variation de fonction composée Si u et v ont le même sens de variation alors uov est croissante Si u et n n'ont pas le même sens de variation

curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 Suites de fonctions 2e année Calcul différentiel dans Rn 1re année 83 86 Séries de fonctions 2e année Différentiabilité 2e année Séries entières 2e année Extremum d’une fonction à plusieurs variables 89 2e année Séries de Fourier 2e année Intégrales doubles 1re année 91 Fonctions définies par une intégrale 2e année 115 Intégrales triples et applications 2e année 95 Partie 3 – Algèbre

détenu et à la qté totale produite CM = (CTi *( / n )) / ( Cm = d CTi / d ( /n) /n) Prop => Montrons que le Cm passe par le minimum du CM CM = CT(Q) / Q On doit ensuite dériver CM par rapport à Q, pour trouver son minimum ( puisque pr trouver un extremum, on résoud : « dérivée = 0 ») : Cm = d CM / d Q = (Cm * Q – CT ) / Q ² ( car on sait que CT’(Q) = Cm(Q) ) Puisqu’on s’intéresse à un optimum, on pose Cm = 0 (car c’est qd la dérivée = 0 qu’on a une tangente) On doit donc résoudre Cm * Q – CT = 0

(respectivement f (x) ≥ f (x0 )). 2. On dit que f admet un maximum global sur I en un point x0 ∈ I (respectivement un minimum global sur I) si ∀x ∈ I, on a f (x) ≤ f (x0 ) (respectivement f (x) ≥ f (x0 )). Il faut remarquer qu’un extremum local n’est pas n´ecessairement un extremum global et r´eciproquement. Regardons la fonction polynomiale d´efinie sur R par f (x) = x3 − 32 x2 + 2. Cette fonction admet un minimum local en x1 = 1 et un maximum local en x0 = 0. Cependant, sur l’intervalle [−1, 2], f admet

′ (x) = 1, alors f ′ (x) = (2x−11)(x−3)−(x2 −11x+28) = 2x −6x−11x+33−x = x −6x+5 2 2 . (x−3) (x−3) (x−3) (b) Étudier le signe de f ′ (x) selon les valeurs de x et établir le tableau de variation de la fonction f (on indiquera les extremums locaux de f ). • Signe de f ′ (x). · x 2 − 6x + 5 est un trinôme positif sauf entre les racines, si elles existent. = 22 = 1 et x2 = −(−6)+4 = 10 ∆ = (−6)2 − 4 × 1 × 5 = 36 − 20 = 16 = 42 > 0, il y a donc deux racines x1 = −(−6)−4 2 2 2 =5

notation « d » indique « un passage à la limite » (modélisation mathématique). Dérivation, sens de variation et extremum Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle Ι. • Théorème fondamental : – f est croissante sur Ι ssi f ' ≥ 0 sur Ι ; – f est décroissante sur Ι ssi f ' ≤ 0 sur Ι ; – f est constante sur Ι ssi f ' = 0 sur Ι. • Condition nécessaire d’extremum : Si f admet un extremum en a et si a n’est pas une borne de Ι, alors f '(a) = 0. 2 25/09/2014 Attention! • La condition nécessaire n’est

obtient : 0= ∂h ∂h ∂h ∂h x1 , g(x1 ) + g (x1 ) x1 , g(x1 ) = (x) + g (x1 ) (x), ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂h ∂h d’où g (x1 ) (x) = − (x). ∂x2 ∂x1 Par ailleurs, on sait que la fonction ϕ : x1 ∈]x1 − δ, x1 + δ[→ f x1 , g(x1 ) admet un extremum local en x1 , ce qui entraine ϕ (x1 ) = 0, d’où : ∂f ∂f ∂f ∂f (x) + g (x1 ) (x) x1 , g(x1 ) + g (x1 ) x1 , g(x1 ) = ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂f ∂h ∂f ∂h = (x) + g (x1 ) µ (x) = (x) + µ g (x1 ) (x) ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂f ∂h = (x)