Extremum

. . . . . . . . . . . . . . . I.3 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Étude qualitative de fonctions II.1 Sens de variation . . . . . . . II.2 Tableau de variations . . . . . II.3 Extremum . . . . . . . . . . . II.4 Tableau de signes . . . . . . . . . . . . . . . ⋆ I . . . . . . . . ⋆ . . . . . . . . . . . . ⋆ . . . . . . . . ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Optimisation libre ou sans contrainte 2.1 Cas d’une fonction à une seule variable Il s‘agit d‘une fonction à une seule variable du type y = f(x) Pour déterminer les extremums de cette fonction on passe par deux étapes :  Condition nécessaire du premier ordre : f ‘(x0)=0 Ainsi le point d‘abscisse x0 est un extremum éventuel  Condition du second ordre :   Si f ‗‘ (x0) > 0 alors le point d‘abscisse x0 est un minimum Si f ‗‘ (x0) < 0 alors le point d‘abscisse x0 est un maximum

2. Extremum local d’une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et, x0 ϵ I • On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) local M en x0 s’il existe un intervalle ouvert J inclus dans I tel que M soit le maximum (respectivement minimum) de f sur J. • On appelle extremum local en x0, un maximum ou un minimum local, en x0. Théorème 9 (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 ϵ I. • Si f admet un extremum local en

et 2 et 3 et 4 p 66 II. Extremums Définitions f est une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine de définition et a un réel de I. • • • Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que f(a) est la plus petite valeur de la fonction ⇔ pour tout réel x ∈ I, f(x)  f(a). Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que f(a) est la plus grande valeur de la fonction ⇔ pour tout réel x ∈ I, f(x)  f(a). Un maximum ou un minimum s'appelle un extremum Remarque Sur un graphique

+ 1 > 0 f est donc croissante sur R 2 ´ 1.3 Equation de la tangente 2 EXTREMUM D’UNE FONCTION 1.3 ´ Equation de la tangente Th´or`me 2 : (admis) e e f est une fonction d´finie et d´rivable sur un intervalle I. e e a est un nombre de l’intervalle I et A le point de la courbe (C) de f d’abscisse a. Une ´quation de la tangente ` (C) en A est : e a y = f ′ (a)(x − a) + f (a) 2 2.1 Extremum d’une fonction D´finitions e D´finition 1 : e f est une fonction d´finie sur un intervalle

décroissante sur I. 3.2. Extremum local d’une fonction | |Théorème | Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I : • si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f′(a)=0. • Si f′ s’annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f. » Remarque : f′ peut s’annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C’est par exemple le cas de la fonction cube en 0.  |Si f admet un extremum local en a, alors

| |2) La fonction f admet-elle un extremum ? | | |Si oui : - est-ce un maximum ou un minimum ? | |- Quelle est sa valeur ? | |- Pour quelle valeur de x, cet extremum est-il atteint ?

alors f est strictement décroissante sur I. BLes extremum locaux d'une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I : si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f′(a)=0. Si f′ s'annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f. f′ peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0. Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative

marquage se fait en deux étapes : a) Marquer 0 sur le sommet de départ Xo. b) Sélectionner un sommet non marqué Xk dont tous les précédents sont marqués. * Calculer la marque k de ce sommet par la formule : n=Extremum ( k + akm) Xk є p (Xn) Avec extremum = Minimum ou Maximum suivant le cas. P(Xn) = ensemble des précédents du sommet Xn. La procédure s’arrête lorsqu’on ne peut plus trouver de sommet dont tous les précédents soient marqués. Deux cas peuvent se produire :

appartenant à D , 4 – x  D et f(4 – x) = 2 – f(x) alors le point A(2,1) est un centre de symétrie de la courbe représentative (C) de f 6) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel de I. Si f ’(a) = 0 alors f admet un extremum local en a . 7) Soit f une fonction dérivable sur IR, Si h(x)= f(2x +1) alors h’(x)= f ’(2x +1) 8) La droite d’équation x = 1 est asymptote à la courbe de f avec f(x) = Exercice 2 : (5points) x2 1 x 1 1) On donne les nombres complexes z = 1 –