Extremum

appartenant à D , 4 – x  D et f(4 – x) = 2 – f(x) alors le point A(2,1) est un centre de symétrie de la courbe représentative (C) de f 6) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel de I. Si f ’(a) = 0 alors f admet un extremum local en a . 7) Soit f une fonction dérivable sur IR, Si h(x)= f(2x +1) alors h’(x)= f ’(2x +1) 8) La droite d’équation x = 1 est asymptote à la courbe de f avec f(x) = Exercice 2 : (5points) x2 1 x 1 1) On donne les nombres complexes z = 1 –

l’élasticité de f par rapport à x en x1 = 1 et interprétez le résultat. 2°) a) Vérifiez que le point x2 = 0 satisfait à la condition nécessaire d’extremum local pour f. b) En utilisant les dérivées successives de f en x2, étudiez l’existence d’un extremum local pour f en ce point. page 2 

inégalités précédentes sont strictes pour x = a. Les définitions correspondantes pour maximum s’en déduisent en inversant les inégalités. Le terme extremum signifie maximum ou minimum. Théorème 4. Soient U un ouvert de Rn , a ∈ U et f : U → R une fonction numérique. 1. Condition nécessaire (pas suffisante) du premier ordre : si f admet en a un extremum local et si f est différentiable en a, alors Df (a) = 0. 2. Condition nécessaire (pas suffisante) du second ordre : si f admet en a un minimum local

d´ecroissante sur I. 7.2 Extremums D´ efinition 6 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et soit c un point int´erieur `a I (c est un point de I distinct des bornes de I). 1. On dit que f pr´esente un maximum local en c si f (c) est le maximum de la restriction de f `a un intervalle ouvert contenant c. 2. On dit que f pr´esente un minimum local en c si f (c) est le minimum de la restriction de f `a un intervalle ouvert contenant c. 3. Un extremum local est un maximum local ou

efficaces. La méthode d’optimisation classique nous permet à l’aide des outils mathématiques de déterminer des minima locaux en utilisant les dérivées partielles de f. Du calcul différentiel, nous trouvons que si f est différentiable et possède un extremum local au point x1, alors x1 doit être une solution à l’ensemble des n équations : F(x) xi i= 1, . . . . ., n Voici à présent un exemple simple de programmation linéaire que l’on peut rencontrer dans différents contextes réels. Cet exemple

variations d’une fonction c’est déterminer les intervalles où la fonction est monotone. Les résultats sont représentés dans un tableau de variations. Des flèches schématisent la croissance ou la décroissance de la fonction. 2) Extremum La fonction f admet un maximum (respectivement minimum) en a sur l’intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) ≤ f(a). (respectivement f(x) ≥ f(a). ) Exemple : |x |(8 | |-5 |

l’utilise ; du coup, on prend généralement le chemin à contresens : le tableau est tracé à partir de la courbe. En haut du tableau figurent les valeurs remarquables de x et, s’il y a lieu, l’infini. Par « valeurs remarquables », entendez les extremums (minimum, maximum) et éventuellement d’autres valeurs (si un énoncé les indique). C’est en quelque sorte une représentation de l’axe des abscisses. Les valeurs de x sont présentées de façon équidistante : si elles sont 0, 1 et l’infini, on laisse

Chap3 : Fonctions numérique à deux variables 1 2 3 4 5 Produit cartésien Fonctions de deux variables Limites et continuité Dérivées partielles Extremums - optimisation Pr. Otheman Nouisser ENCG- Kénitra, 2014 Définition Application Soient E et F deux ensembles quelconques non vides. On appelle produit cartésien de E par F et on note E × F , l’ensemble défini par : E × F = {(x, y )/x ∈ E et y ∈ F }. Exemple R2 = R × R R+ × R− = {(x, y )/x ≥ 0 et y ≤ 0} R3 = R × R × R Pr. Otheman Nouisser

∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U et admet un maximum en a, donc d’après la condi∂f tion nécessaire des extremums df (a) = 0, donc (a) = 0 pour tout i = 1, 2, ..., n. ∂xi Par ailleurs, puisque U est un ouvert, alors il existe η > 0 tel que B(a, η) ⊂ U, donc pour tout |h| < η, a + h ∈ U et d’après la formule de Taylor-Young, on a : f (a + h) = f (a) + 1.2.2 1

Introduction 1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Probl`eme d’optimisation ; maximum et minimum . . . . . . . . . 1.2 Probl`eme d’optimisation continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples de probl`emes d’optimisation `a une variable . . . . . . . . . . . 2.1 Minimisation des coˆ uts dans la fabrication de boˆıtes cylindriques 2.2 Position d’´equilibre