Extremum

(x; y) = 3 4 1 1 + x y 2 x+y 1) Représenter sur un même graphique T et T 0 . 2) On admet que T 0 est un ouvert de R2 . a: Déterminer les dérivées partielles d’ ordre 1 sur T 0 de la fonction f. b: Montrer que f n’ admet pas d’ extremum local (et donc a fortiori absolu) sur T 0 . 3) Démontrer par de simples considérations sur des inégalités que l’ a on pour tout couple (x; y) de T : 2 f (x; y) 16 3 On considère une urne contenant des boules blanches (en proportion

où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I. T HÉORÈME 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R et x0 un réel appartenant à I. 1. Si f admet un extremum local en x0 , alors f ′ (x0 ) = 0. 2. Si la dérivée f ′ s’annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0 . x f ′ (x) f (x) minimum a − x0 0 | | b + x f ′ (x) f (x) a + x0 0 maximum | | b − R EMARQUES 1. Dans la proposition 2. du théorème 3 l’hypothèse

0. La courbe se déplace horizontalement. b) La fonction f semble décroissante sur ]– ∞ ; α] et croissante sur [α ; + ∞[ quand a > 0. La fonction f semble croissante sur ]– ∞ ; α] et décroissante sur [α ; + ∞[ quand a < 0. Elle présente un extremum égal à β pour x = α. c) Coraline a réalisé sa carte en prenant a = 1, α = 1 et en faisant varier β. 3. Exercices de base a) Ajouter 3 Élever Multiplier Soustraire au carré par – 2 4 x+3 (x + 3)2 – 2 (x + 3)2 –2 (x + 3)2 – 4

amicitia progredi debeat. Numne, si Coriolanus habuit amicos, ferre contra patriam arma illi cum Coriolano debuerunt? num Vecellinum amici regnum adpetentem, num Maelium debuerunt iuvare? Eius populus ab incunabulis primis ad usque pueritiae tempus extremum, quod annis circumcluditur fere trecentis, circummurana pertulit bella, deinde aetatem ingressus adultam post multiplices bellorum aerumnas Alpes transcendit et fretum, in iuvenem erectus et virum ex omni plaga quam orbis ambit inmensus, reportavit

= −4t 12t −12t436t −72t 36t y t  18t 3−36t 218t−18t3 18t 2       { 3. x t = f 1 t =32t −60t 24t4 y t = g 1 t =−18t2 18t 3 2 4. g ' 1 t =−36t18 g ' 1 t =0 ⇒ t 1= 1 2 On rencontre un extremum là où la dérivée s'annule. é T 5. Lorsque t < 0,5 la dérivée est positive, la courbe croit. Lorsque t > 0,5 la dérivée est négative, la courbe décroit. Il s'agit bien d'un maximum. h c lé é rg a h r su /w :/ tp t w w

dos …. n° 5. sur 2.5 points Soit f la fonction définie sur  \ {– 2} par f ( x)  x²  2 x  4 x2 . Justifier le tableau de variations donné ci-contre  en étudiant le signe de f  (x) où f  est la fonction dérivée de f  en calculant les extremums n° 6. sur 3 points Un laboratoire produit des vaccins. Il peut fabriquer chaque mois entre 0 et 6000 vaccins qui sont vendus au prix unitaire de 6,75€. Les coûts de production de x centaines de vaccins sont donnés par la fonction C définie sur [0

manière aléatoire Probabilité : 70%. Emplacement de l'enjambement choisi aléatoirement. Croisement en 2 points plus efficace (qu’en un seul point). * Mutations des chaînes filles. Probabilité : de 0,1 à 1%. (permet d’éviter de tendre vers un extremum local) Inversion d’un bit au hasard ou remplacement au hasard d’un caractère par un autre. Les avantages : Faculté d’adaptation, réactivité et prise en compte de l’environnement Permet de traiter des espaces de recherche important (beaucoup

&gt; Fonctions : Generalités  o SENS DE VARIATION Croissante si pour tout a&gt;b on a f(a)&gt;f(b) Décroissante si pour tout a&gt;b on a f(a)&lt;f(b) o EXTREMUMS Le maximum d’une fonction sur I est le plus grand des f(x) (xЄI) ; Inversement pour le minimum. Les sommets de la courbe sont les points les plus hauts, ou les plus bas &gt; Droite et équitation de droite o EQUATION REDUITE Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation du type : y=mx+p m

C 1 sur R2 : @g (x; y) = ey yex @x @g (x; y) = xey ex @y 2. Comme R2 est un ouvert, si g admet un extremum local en (a; b) de R2 alors les deux dérivées eb b ea = 0 eb = b ea partielles premières sont nulles et d’ où et comme ea 6= a eb ea = 0 (1) a b e a ea = 0 0 on a alors a b 1 = 0 et a b = 1 Donc b = 1 a et de (1) on tire a = ea =eb = ea b = ea 1 a Conclusion : Donc si g admet un extremum local en (a; b) de R2 alors Comme a = ea 1 a alors a > 0 et donc ln (a) = ln ea 1 a =a f (a) =

au calcul de d´riv´es. e e 2.2.2 Extremum Soient f une fonction d´finie sur un intervalle I et x0 un ´l´ment de I. On dit que : e ee • f admet un minimum relatif en x0 s’il existe un intervalle ouvert et non vide J contenant x0 tel que : J ⊆ I et ∀x ∈ J, f (x) ≥ f (x0 ). • f admet un maximum relatif en x0 s’il existe un intervalle ouvert et non vide J contenant x0 tel que : J ⊆ I et ∀x ∈ J, f (x) ≤ f (x0 ). 11 • f admet en x0 un extremum relatif si f admet en x0 soit un maximum