Extremum

]−∞ ; 0] et sur [2 ; +∞[. • f est dérivable sur R donc sur [0 ; 2] et sa dérivée est strictement positive sur ]0 ; 2[donc f est strictement croissante sur [0 ; 2]. • La dérivée de f s’annule en changeant de signe en 0 et en 2. f admet donc deux extremums : - un minimum en 0, égal à f (0) = 0 (inutile de faire le calcul, c’est une condition initiale). - un maximum en 2, égal à f (2) = 4e −2 ≈ 0,54 . Par théorème ∀n∈N x →+∞ lim x n e− x = 0 , donc (remplacez n par 2) x →+∞ lim x 2 e− x =

fonction. ▪ Fonctions dérivées des fonctions de référence. ▪ Étudier, sur un intervalle donné, les variations d’une fonction à partir du calcul et de l’étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variation. ▪ Déterminer un extremum d’une fonction sur un intervalle donné à partir de son sens de variation. ▪ Passer du langage probabiliste au langage courant et réciproquement. ▪ Reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues d’expériences aléatoires

L’0 + ∞ si L’ 0 pour tout x de I f ’(x) < 0 pour tout x de I ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ f constante sur I f croissante sur I f décroissante sur I f strictement croissante sur I f strictement décroissante sur I 2° Extremum Si la dérivée f’ de f s'annule et change de signe en x0 élément de I, alors f admet un extremum en x0. Dans tous les cas, si f ’(x0) = 0, la courbe représentative de la fonction admet une tangente horizontale en x0. f’(x) = 0 mais pas d’extremum y f’(x) = 0 et minimum y O x O

Étudier la limite de f en et en . 2) On note la dérivée de la fonction f. a) Calculer . b) Étudier le signe de. c) Dresser le tableau des variations de f. (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs arrondies au dixième des extremums de f obtenues à l’aide de la calculatrice.) 3) a) Montrer que l’équation f(x) = 7, admet une solution unique . b) Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie de  au centième près. Exercice 5 En 1800, l'Angleterre comptait 8 millions

monotone sur lorsque est soit strictement croissante sur soit strictement décroissante sur . Étudier les variations d'une fonction c'est préciser les intervalles où la fonction est monotone. Nous résumons les résultats dans un tableau. Extremum: Soit une fonction définie sur . m et M . on dit que admet un maximum/ sur en / si pour tout réel de , / Ex: Soit la fonction sur Comme et alors admet comme minimum en Parité: Soit une fonction définie sur un

Fonction dérivée. Dérivée des fonctions usuelles 1 et xn √x x (n entier naturel non nul). Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient. Calculer la dérivée de fonctions. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d’une fonction. Exploiter le sens de variation pour l’obtention d’inégalités. COMMENTAIRES Le nombre dérivé est défini comme limite du taux f (a+h)− f (a) d’accroissement quand h tend vers 0. h On ne donne pas de définition formelle

Estimating AR(p) Maximum likelihood with serial correlation 1.14 Ordinary least squares . . . . . . . . . 14 14 1.2 5 1.6 9 1.7 9 1.3 6 1.4 6 1.8 10 1.10 Point estimation . . . . . . . . . . . . Estimator Extremum estimator Analogy principle Consistent estimator Consistency with compact parameter space Consistency without compact parameter space Uniform (Weak) Law of Large Numbers Asymptotically normal estimator Asymptotic variance Asymptotically efficient estimator

observe facilement, sans accommoder, les radiations rouge, jaune et vertes). 3) Tourner encore le support du prisme et suivre l’image toujours ` l’oeil nu : on doit constater a que le d´placement de l’image change de sens e et qu’il existe donc un extremum de l’angle de d´viation D ; v´rifier qu’il s’agit bien d’un minie e mum Dm . 4) Observer ensuite ce minimum ` la lunette. a qadripcsi@aol.com Prisme Prisme Lunette Lunette αλi Dm Dm βλi 3 http ://pcsi-unautreregard.over-blog

28 24 10 O 1 v2 6 10 g' ( X ) = 1,5 – 0,000 4X g' ( 2x ) = 1,5 – 0,000 8X . Donc f ' ( x ) = 2g' ( 2x ) . 4 Travaux dirigés (page 48) 4.1 Rentabilité d’une production A. Notions utilisées • Lecture graphique. • Lien entre signe de la dérivée et extremum d’une fonction. B. Corrigé 1. a) 3 000 €. b) 2 000 € ; elle ne réalise pas un bénéfice car le coût de production est supérieur à 2 000 €. c) • q = 1, q = 3 . • q ∈ [1 ; 3] . 2. a) B' ( q ) = 4 – C ' ( q ) B' ( q ) = 0 lorsque C ' ( q ) = 4 , c’est-à-dire

Les valeurs en lesquelles s’annulent la d´riv´e d’une fonction indiquent des e e extrema ´ventuels : si f (x0 ) = 0, alors en x0 la fonction f peut poss´der e e un maximum ou un minimum local. De fa¸on pr´cise, pour que la fonction f c e poss`de un extremum en x0 , il est n´cessaire que l’on ait f (x0 ) = 0. e e Le nombre d´riv´ fournit aussi des approximations affines. . .Par exemple e e – pour de « petites » valeurs de x autour de 0 et pour n ≥ 1 on a (1 + x)n 1 + nx – pour de « petites » valeurs