Extremum

CHAPITRE 4 LOGARITHME, EXPONENTIELLE, SINUS, ` COSINUS : 1ERE APPROCHE Commen¸cons par des ajouts au chap. 3. D’abord, une condition suffisante pour l’existence d’un extremum local d’une fonction d´erivable, puis quelques figures. Corollaire 3.29.1. — Soient I un intervalle ouvert, f : I → R une application d´erivable sur I, et c ∈ I. On suppose qu’il existe un intervalle ouvert non vide J = ]c − δ, c + δ[ contenu dans I tel que, pour tout x ∈ J on ait f (x) ≥ 0 si x ≤ c et f (x) ≤ 0 si x ≥ c (resp

Suites de fonctions 2e année Ensembles particuliers 2e année Séries de fonctions 2e année Calcul différentiel dans Rn 1re année 86 89 Séries entières 2e année Différentiabilité 2e année Séries de Fourier 2e année Extremum d’une fonction à plusieurs variables 92 2e année Fonctions définies par une intégrale 2e année 115 Intégrales doubles 1re année 94 Partie 3 – Algèbre générale 37 38 39 40 41 42 VI Logique binaire 1re année 120 123 125

positive, noté f > 0 si, et seulement si : ∀ x ∈ I, f (x) f (x) • f admet un maximum x M si, et seulement si : ∀ x ∈ I, • f admet un minimum xm , si, et seulement si : ∀ x ∈ I, g ( x ). 0. f (x) f ( x M ). f (x) f ( x m ). • f admet un extremum si, et seulement si, f admet un minimum ou un maximum. Remarque : Deux fonctions ne sont pas toujours comparable (contrairement aux nombres réels). On dit que la relation d’ordre n’est pas totale. Par exemple : Les fonctions f et g définies respectivement

• meilleur : 1. Supérieur, préférable, digne d'être choisi : pour LEIBNIZ, le meilleur repose sur une sorte de principe d'économie dans l'appropriation des moyens à la fin ; il correspond au maximum d'effets avec le minimum de dépenses ; dans le domaine moral le meilleur est le minimum de mal pour le maximum de bien. 2. Meilleur des mondes possibles : pour LEIBNIZ, Dieu ne crée pas les essences qui tendent toutes avec un droit égal à l'existence ; les existences ne sont pas toutes compossibles ;

1 Le corps R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres

ELEMENTS DE CORRECTION DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES (SERIE S) Exercice 1 : Partie A 1) u est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et pour tout réel x : u’(x) = e-x – x e-x. Donc pour tout réel x : u’(x) + u(x) = e-x. u est donc bien solution de (E). 2) Les solutions de (E’) sont de la forme : y(x) = C e-x , où C est un réel fixé. 3) v est solution de (E) si et seulement si pour tout réel x v’(x) + v(x) = e-x, ce qui équivaut à : pour tout réel x v’(x) + v(x) = u’(x) + u(x),

La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole qui admet comme axe de symétrie la droite d'équation . La réciproque est en partie vraie : quelle que soit une parabole donnée, il est possible de choisir un repère orthonormé du plan pour lequel il existe une fonction du second degré dont la parabole est le graphe. Les variations et la forme de la parabole présentent deux cas, suivant le signe du coefficient de second degré a. Si a est positif. La parabole admet un minimum ;

PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Fonctions d’une variable réelle. Etant donné un ensemble D ⊂ R non vide, RD est l’ensemble des fonctions de D vers R. Structures algébriques • Etant donné f, g dans RD et λ ∈ R, on définit les applications de D vers R : f + g : x → f (x) + g(x) Pour ces lois : RD est un R-espace vectoriel. • On définit également : f g : x → f (x)g(x). Ainsi RD est un anneau commutatif. • Soit T ∈ R. On dit que f ∈ RR est T -périodique lorsque : ∀x ∈ R, f (x

Ducros Samuel TS3 DM5 12/01/15 Exercice 1 : PARTIE A : 1. On sait que , par conséquent . donc et . On a aussi donc . 2. La dérivée de la fonction s'écrit : . La fonction est positive sur R donc la dérivée est positive sur R et la fonction est croissante. On peut alors dresser le tableau de variations : signe de + 3. Le tableau de variations nous montre que la fonction est continue strictement croissante de R dans

Cours d’analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 2 3 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . .