Fonction holomorphe

l’université Bordeaux I en première année de Master durant les années universitaires 2007-08, 200809, 2009-10 et 2010-11. Le contenu de ce polycopié est exactement ce que j’ai traité devant les étudiants. Pour aller plus loin dans la théorie des fonction holomorphes d’une variable complexe, le lecteur pourra consulter les ouvrages cités dans le bibliographie. Les exercices en fin de chapitre correspondent aux listes d’exercices distribuées par A. Yger au cours de l’année universitaire 2010-2011. iii

Fourier lacunaire quadratique La fonction q définie, pour tout x ∈ R, par q(x) = ∞ n=1 eiπn x iπn2 2 est étudie par Riemann il y a environ 150 ans, avec l’idée que cette fonction est continue sur R mais nulle part dérivable. L’étude est poursuivie par Hardy qui prouve en 1916 que cette fonction est non dérivable en tout x ∈ R\{Q}. Il reste à étudier la dérivabilité en x rationnel et c’est Gerver qui en 1970 réussit à trouver le résultat assez inattendu : la fonction est dérivable en tout x ∈ Q

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3.2 Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Fonctions élémentaires 7 1.1 Fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Fonctions uniformes et multiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Terminale S Devoir de Mathématiques n° 2 20/11/2009 EXERCICE 1 ( 6,5 Pts) Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +  [par : f (t) = (20t + 10) 1. Etudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +  [. 2. Etudier la limite de f en + . 1 NB : on pourra poser T = – t , et on rappelle que : lim t e t = 0. 2 t - 3. Dresser le tableau de variation de f. Partie B On note y(t) la valeur, en degrés Celsius ,de la température d’une réaction chimique à

f est une fonction continue sur R a valeurs r´ elles, on lui associe l’´ quation diff´ rentielle ` e e e y ′ − y + f = 0. (Ef ) Le but du probl` me est d’´ tudier des conditions d’existence de solutions born´ es de l’´ quation e e e e diff´ rentielle (Ef ), et lorsque ces conditions sont remplies, certaines propri´ t´ s des ces solutions sont e ee ensuite etudi´ es. ´ e I. E XEMPLES 1. Un premier exemple ´ ´ ´ ET R E SULTATS G E N E RAUX Soient α un r´ el et fα la fonction x −→ eαx

n n≥2 2n (n−1) x (c) (f ) n+1 n n≥0 3n x n2 n n≥0 n! x . Exercice 4 Donner le d´veloppement en s´rie enti`re de chacune des fonctions suivantes : e e e (a) f (x) = ln x + √ 1 + x2 1+x (b) f (x) = ln 1−x (c) f (x) = ln(2 + x) (f ) f (x) = cos2 (x). (d) f (x) = (1 + x)e−x (e) f (x) = e−x 1−x Exercice 5 D´terminer une primitive de la fonction f : x → e en s´rie enti`re de f . e e Exercice 6 x . 9+x2 En d´duire un d´veloppement e e 1. D´terminer le rayon de convergence

−→ C une fonction analytique au point z0 , et C = z ∈ C 0 < |z − z0 | < r (Disque troué). On appelle résidu de f au point z0 , le cœfficient a−1 du développement de Laurent de f au voisinage de z0 . Ce nombre est noté Res( f, z0) Remarque : Soit f (z) = ∞ n=−∞ an (z − z0 )n = · · · + a−1 a−2 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · 2 (z − z0 ) (z − z0 ) le développement de Laurent de f au voisinage de z0 , comme ce développement existe toujours pour les fonctions analytiques

On suppose dans cete question que s > 1. I.4.1 Soit fn la fonction d´finie sur [ 0, +∞ [ pour tout n ∈ N∗ par fn (t) = e−nt ts−1 . e +∞ Montrer que fn est int´grable sur [ 0, +∞ [ et exprimer e +∞ +∞ 0 fn (t) dt ` l’aide a de n, s et l’int´grale Γ(s) = e 0 +∞ e t −t s−1 dt = 0 f1 (t) dt. I.4.2 Soit z un nombre complexe de module inf´rieur ou ´gal ` 1. Montrer que e e a la s´rie e n=1 z n fn (t) de fonctions de la variable r´elle t est int´grable terme ` e e a terme

fr Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/˜maudin Mots clefs. fonction holomorphe, fonction analytique, exponentielle, logarithme, th´or`me de Caue e chy, principe du maximum, th´or`me de Liouville, indice, singularit´s, fonctions m´romorphes, fonction e e e e ℘ de Weierstrass, produit infini, th´or`me des r´sidus, fonction zˆta de Riemann, th´or`me des nombres e e e e e e premiers. La figure de couverture repr´sente la fonction ℘ de Weierstrass et a ´t´ dessin´e par Olivier Elchinger. e

Nom de l’enseignement : Cours et TD Code enseignement : MAT-1 1`ere ann´ee 2014/2015 Chapitre 1 Analyse Complexe L’objectif de cette partie du cours est l’´etude des fonctions de variable complexe z ∈C I . Nous verrons que ces fonctions poss`edent des propri´et´es tr`es particuli`eres qui n’existaient pas pour les fonctions de la variable r´eelle. Le champ d’application de cette th´eorie est immense tant en math´ematique (calcul d’int´egrales, transform´ees de Fourier,...) qu’en physique (transformations