Groupe abélien

endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni d’une LCI ∗ est un groupe Une partie H non vide de (G,∗) est un soussi : groupe de G si : i. ∗ est une loi associative i. L’élément neutre de G appartient à H ii. (G, ∗) possède un élément neutre ii. H est stable pour la loi de groupe ∗ de iii. Tout élément de G est symétrisable. G. iii. Tout élément de H est symétrisable pour la loi

Espace vectoriel En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corpsK, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires. Définitions Soit K un corps1,2, comme le corps commutatifQ des rationnels, celui, R, des réels3

un corps Un K – espace vectoriel est un ensemble muni de deux lois: - une loi interne V x V ------> V (u,v) |-------> u + v - une loi externe K x V ------>V (λ,v) |-------> λ ⋅ v telles que les axiomes suivants sont satisfaits: 1) (V,+) est un groupe abélien 2) (λ + µ)⋅v = λv + µv 3) (λ⋅µ)v = λ(µ⋅v) ∀ λ,µ ∈ K et ∀ v, w ∈ V 4) λ(v + w) = λv + λw 5) 1K⋅ v = v Les éléments u, v, w de V sont appelés des vecteurs Les éléments λ, µ,… de K sont appelés des scalaires Si v ∈ V et si µ ∈ K, alors le vecteur

GROUPES ET ESPACES VECTORIELS GROUPES Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne) 2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative) 3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e est l’élément neutre) 4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x

quelconque — à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries. La notion d’espace vectoriel introduite dans ce chapitre est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après les groupes, les anneaux et les corps. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir sur les groupes, les anneaux et les corps, on exige de vous au contraire que vous sachiez tout — ou presque — sur les espaces vectoriels en fin de spé. C’est parti ! La théorie mathématique des espaces vectoriels

Notion de groupe Un ensemble G est un groupe si il est muni d'une l.c.i * (loi de composition interne) vérifiant les trois propriétés suivantes : · Existence d'un élément neutre e : "x Î G, e * x = x * e = x · Associativité de la loi * : "x, y, z Î G, (x * y) * z = x * (y * z) = x * y * z · Existence d'un symétrique pour tout x de E : "x Î G, $y Î G tel que x * y = y * x = e Si de plus la l.c.i. est commutative : "x, y Î G, x * y = y * x Alors le groupe (G, *) est dit commutatif (ou Abélien). Dans ce

Maroc .:: Module Math´matiques I : Alg`bre ::. e e Fili`re : e Sciences de Mati`re Physique (SMP) e et Sciences de Mati`re Chimie(SMC) e Chapitre II: Rappels et compl´ments sur les nombres r´els et e e complexes. Par Prof: Jilali Mikram Groupe d’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma Ann´e : 2005-2006 e 1 TABLE DES MATIERES 1 Les nombres r´els e 1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . 1.2 Les irrationnels . . . . . . . .

soit le corps des e r´els R soit le corps des complexes C. e 1.1 G´n´ralit´s e e e D´finition. (Espace vectoriel) On appelle espace vectoriel sur un corps K e tout ensemble E muni de deux lois + et · v´rifiant : e 1. (E, +) est un groupe commutatif (cad, + est une loi interne qui est associative, poss´dant un ´l´ment neutre, et tel que tout ´l´ment a un e ee ee inverse), 2. pour tout (λ, µ) dans K2 , pour tout x dans E, λ · (µ · x) = (λµ) · x et 1 · x = x, 3. · distributive

18 Janvier 1. N 2. 3. - Récurrence : Voir semaines précédentes Dénombrement : Voir semaines précédentes : Voir semaines Exemples de calcul de sommes avec des coefficients binômiaux précédentes 4. 5. Lois dans un ensemble - Groupes : Voir semaines précédentes Anneaux-Corps commutatifs :Voir semaines précédentes : 6. Q -R Voir semaine K13 Acknowledgement PAS d’exercices sur les paragraphes 8 et 9 7. Vocabulaire général sur les suites : monotonie , opérations

d´finition suivante : la d´finition suivante : ee a e e D´finition 1.1 Soit K un corps commutatif d’´l´ment unit´ not´ 1. On nomme espace vectoriel sur K, un e ee e e ensemble E muni d’une loi de composition interne (+) conf´rant ` E la structure de groupe commutatif ou e a ab´lien, et d’une seconde loi dite externe, application de E×K dans E not´e (×), aussi appel´e multiplication, e e e faisant intervenir les ´l´ments de K, appel´s scalaires. Cette loi externe doit v´rifier les axiomes suivants, ee