Inégalité de Cauchy-Schwarz

1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo) 1.2 Formes quadratiques 1.2.1 Dénition Structure d'espace vectoriel pour l'ensemble des formes quadratiques(fq) 1.2.2 Polarisation Th : Si Φ est une forme quadratique, il existe une unique fbs φ associée à Φ (forme polaire)

. . . . . . . . . 2.1.5 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques 2.2.3 Inégalités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites . . . . . . . . . . . . .

Changement d’échelle : soient a, b, c, d des constantes réelles. On a Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y ). Proposition 1. Expression de la variance d’une somme de variables : V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ). Proposition 2. Inégalité de Cauchy-Schwarz : |Cov(X, Y )| ≤ σX σY . 22 Exemple : Dans l’exemple précédent du couple (T, P ), calculer les écart-types des deux variables et vérifier l’inégalité. Preuve de la proposition 2 : Pour tout réel a, on peut développer grâce à la Proposition

Proposition 19.1.4 (inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit E un espace préhilbertien réel. Pour tous vecteurs u, v de E, on a l’inégalite dite « de Cauchy-Schwarz » : |(u | v)| Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si u et v sont liés. u v . Les deux exemples classiques – On se place dans Rn , muni de son produit scalaire canonique. n Pour tout vecteur u = (x1 , . . . , xn ), on a u = x2k 1/2 . k=1  u = (x1 , . . . , xn ) Pour tous  l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit : v = (y1

(**) (Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski) Soient a1 ,..., an , b1 ,..., bn des nombres réels. n n n n 1) En considérant la fonction f : x → Cauchy-Schwarz). (ak + xbk )2 , montrer que | k=1 k=1 a k bk | ≤ a2 k k=1 k=1 b2 (inégalité de k c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr n n n 2) En déduire l’inégalité de Minkowski : k=1 (ak + bk )2 ≤ a2 + k k=1 k=1 b2 . k (l’inégalité de Cauchy-Schwarz affirme

un espace pr´hilbertien r´el e e Dans tout le paragraphe, E d´signe un espace pr´hilbertien r´el pour un produit scalaire (· |·). Pour e e e x ∈ E, la positivit´ du produit scalaire autorise ` poser x = (x |x). e a ´ ´ Proposition 1.11 (Inegalite de Cauchy-Schwarz) Pour tous x, y ∈ E, on a : |(x |y)| x y avec ´galit´ si, et seulement si, la famille (x, y) est li´e. e e e D´monstration. • Pour x, y ∈ E donn´s, on a par bilin´arit´, sym´trie et positivit´ du produit e e e e e e scalaire : pour tout

 Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques.

démonstrations Exemples[modifier | modifier le code] Inégalité de Cauchy-Schwarz Le cas p = q = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert. Dimension finie Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝn (ou de ℂn), l'inégalité Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions

→ a2 De même, AB . AD = . 2 → → → → → → → → → a2 a2 D'où : AB . CD = AB .( AD − AC ) = AB . AD − AB . AC = − =0 2 2 D A C B Donc les arêtes [AB] et [CD] sont orthogonales. On procède de même pour les deux autres. Théorème 2 Inégalité de Cauchy-Scwharz → → ¡ Pour tous vecteurs u et v , on a : |u.v | → → → → || u || || v || Démonstration : (dans le cas d'un produit scalaire quelconque, l'inégalité étant évidente pour le produit scalaire euclidien en utilisant

L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞ , extension des résultats sur opérations et limites ; théorèmes usuels sur ordre et limite notamment théorème de passage à la limite sur une inégalité et théorème d’encadrement ) ; théorèmes classiques sur les suites monotones ; suites adjacentes : définition et théorème fondamental avec encadrement de la limite ; théorèmes des segments emboités . Suites réelles ou complexes : 8. Developpements