Intervalle

formule de Taylor et les développements limités formule I) La formule de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c’est-à-dire fois dérivables et à dérivées continues, en particulier la -ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel En pratique il s’agira surtout de fonctions de classe On a la formule suivante (appelée formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) : Ce que l’on écrit habituellement : Cette formule se démontre assez

Proposition : 3.1.3 Intervalles Définition : Un intervalle I de IR est un sous-ensemble de IR tel que si Remarques : Sont des intervalles : Proposition : Toute intersection d’intervalles est un intervalle Preuve : Soient I1, I2, I3, …, In des intervalles de IR Soit On veut mnt montrer que A est un intervalle Soit Donc, par définition : si Si puisque Ii sont des intervalles  de nouveau puisque ce sont des intervalles  Proposition : la réunion de 2 intervalles n’est pas tjrs un

D´ erivation 1 D´ efinition D´ efinition 1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et soit a ∈ I. On dit que f est f (x) − f (a) d´erivable en a si la fonction x 7→ admet une limite finie ` lorsque x tend vers a. x−a D´ efinition 2 Si f est d´erivable en a on appelle nombre d´eriv´e de f en a et on note f 0 (a) le nombre f 0 (a) = lim x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement

| Remarque : L’ensemble des nombres réels [pic]est un intervalle qui peut se noter ] -∞ ; +∞ [. Exemple : L’ensemble de tous les nombres réels x tels que x < 3 se note ] -∞ ; 3 [ et peut se représenter comme ci-dessous : Exercices conseillés |p37 n°37 et 38 | | 2. Intervalle ouvert et intervalle fermé : Définitions : On dit qu'un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l'intervalle. On dit qu’il

variation au signe de la dérivée Propriété 1 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors • si f est croissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)≥0 • si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)≤0 • si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)=0 2) Réciproque : du signe de la dérivée au sens de variation Propriété 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors • si pour tout x de I, f ' ( x)≥0 , alors f est croissante sur I. • si pour

à sa courbe au point d'abscisse 1 : y=2(x−1)+2 y=2x−2+2 y=2x IILa fonction dérivée ALa dérivée sur un intervalle La fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle. On appelle alors fonction dérivée de f la fonction notée f′, qui a tout réel x associe f′(x). Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si f′ est également dérivable sur I, la dérivée de f′, notée f′′, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée

tandis que l'autre se déplace — c'est-à-dire, monte ou descend. Il est agréable pour l'oreille dans la mesure où elle n'a qu'une seule mélodie à suivre et où il produit toujours un nouvel intervalle harmonique, contrairement au mouvement parallèle1. Ce mouvement permet pratiquement d'amener n'importe quel intervalle harmonique. C'est par ailleurs le seul mouvement harmonique qui permette de préparer strictement une dissonance en faisant entendre une de ses notes dans l'intervalle harmonique précédent

−1 et 4 ≥ 1. Intervalles dans R • Intervalles born´ es Soient a, b ∈ R avec a < b. - [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (intervalle ferm´e) - ]a, b[= {x ∈ R : a < x < b} (intervalle ouvert) - [a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b} - ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} • Intervalles non born´ es Soit r ∈ R. - ] − ∞, +∞[ = R - ] − ∞, r] = {x ∈ R : x ≤ r} (intervalle ferm´e) - ] − ∞, r[= {x ∈ R : x < r} (intervalle ouvert) - [r, +∞[= {x ∈ R : x ≥ r} (intervalle ferm´e) - ]r, +∞[= {x ∈ R : x > r} (intervalle ouvert) 1.1.4

Variations et signe Théorème 7 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si f est croissante sur I, alors f’(x) ≥ 0 pour tout x ϵ I. • Si f est décroissante sur I, alors f’ (x) ≤ 0 pour tout x ϵ I. • Si f est constante sur I, alors f’ (x) = 0 pour tout x ϵ I. L’utilité de la fonction dérivée réside surtout dans le théorème réciproque suivant. . Théorème 8 (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si f’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

d´rivable sur cet intervalle. ee e 4 Par cœur Les expressions de chacune des fonctions d´riv´es des fonctions usuelles e e doivent absolument ˆtre connues par cœur. e 3 5 Exercices pratiques 5.1 Exercice 1 D´terminer la fonction d´riv´e de la fonction f : x → 2x2 − 3x + 19. e e e Avant de s’int´resser a la fonction d´riv´e, il faut s’occuper de l’ensemble e ` e e de d´finition de la fonction f et v´rifier sa d´rivabilit´ sur cet intervalle. Ici, e e e e