Intervalle

a . xb xc   xc Limite de la composée d’une suite et d’une fonction Si lim un  a et lim f (x)  b alors lim f (un )  b . n  xa  n 5. Continuité    f est une fonction continue sur un intervalle I et a un réel de I   Dire que f est continue en a signifie que f admet une limite en a égale à f (a) . Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout réel de I. Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont continues

f ’(x) = – n+1 x f(x) = x f ’(x) = 1 2 x Validité x ∈ r* x ∈ r* n entier naturel non nul x ∈ r* x ∈ ]0 ; +∞ ∞[ pourtant f est définie pour x ∈ [0;+∞[ Opérations et dérivées u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé. Fonction Dérivée Somme f = u + v f’ = u' + v' Produit Quotient f = ku f = uv 1 f= v u f= v f’ = ku' f’ = u'v+uv' v’ f’ = – 2 v u’v – uv’ f’ = v2 Dérivabilité dérivable sur

4i 5) Soit f une fonction définie sur un domaine D tel que pour tout x appartenant à D , 4 – x  D et f(4 – x) = 2 – f(x) alors le point A(2,1) est un centre de symétrie de la courbe représentative (C) de f 6) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel de I. Si f ’(a) = 0 alors f admet un extremum local en a . 7) Soit f une fonction dérivable sur IR, Si h(x)= f(2x +1) alors h’(x)= f ’(2x +1) 8) La droite d’équation x = 1 est asymptote à la courbe de f avec f(x) = Exercice

Fonction x → ex et ses polynômes de Taylor en 0 jusqu’à l’ordre n = 5. Ce que nous venons de voir au voisinage de 0, s’étend en n’importe quel point de la façon suivante. Définition 1. Soit n un entier. Soit f une fonction de R dans R, définie sur un intervalle ouvert I contenant un point a, dérivable n − 1 fois sur I, et dont la dérivée n-ième en a existe. On appelle polynôme de Taylor d’ordre n en a de f , le polynôme : Pn (x) = f (a) + f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n . 1

et ` vous entraˆ e e e a ıner au calcul de d´riv´es. e e 2.2.2 Extremum Soient f une fonction d´finie sur un intervalle I et x0 un ´l´ment de I. On dit que : e ee • f admet un minimum relatif en x0 s’il existe un intervalle ouvert et non vide J contenant x0 tel que : J ⊆ I et ∀x ∈ J, f (x) ≥ f (x0 ). • f admet un maximum relatif en x0 s’il existe un intervalle ouvert et non vide J contenant x0 tel que : J ⊆ I et ∀x ∈ J, f (x) ≤ f (x0 ). 11 • f admet en x0 un extremum relatif

théorème de la bijection permet de prouver l’existence d’une solution unique à une équation du type f(x) = k sur un intervalle donné . Pour déterminer le nombre de solution(s) d’une telle équation, on doit appliquer une ou plusieurs fois ce théorème , sur chaque intervalle qui vérifie les hypothèses. La fonction doit être continue et strictement monotone sur l’intervalle considéré (une étude

u(x), et si : lim x!a u(x) = +1, alors lim x!a f (x) = +1 (Énoncé analogue pour −1) Démonstration : Dans le cas où a = +1(c’est le cas qui figure au programme, la démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée.) On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l. La fonction u a pour limite l en +1 donc il existe un réel A tel que pour tout x 2]A; +1[ tous les nombres u(x) sont dans I. De même, pour la fonction v : On note B le réel tel que pour tout x 2]B; +1[ on a :

ainsi sur −∞; , f est strictement décroissante. Et x < 2 2 −1 1 La question maintenant, moins facile, est de savoir ce qu’il se passe sur ; ; pour répondre à 2 2 cette question on va étudier les variations de la fonction dérivée sur cette intervalle (au même titre que les variations d’une fonction affine peuvent nous renseigner sur son signe). f est une fonction dérivable sur R, et ∀x ∈ R, f (x) = 2 + sin(x). Or, pour tout x ∈ R, −1 ≤ sin(x) ≤ 1 =⇒ 1 ≤ 2 + sin(x) ≤ 3 =⇒ 0 < f (x). Donc f

grandeurs que l’on appelle alors variables. La dérivée peut se faire par rapport a un nombre ou plus habituellement par rapport à une fonction. Cependant les deux existent et sont courrant. Nombre dérivé : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant le réel x . Le nombre dérivé de f en x , s’il existe, est le nombre  [pic] Ce nombre est noté [pic] Le calcul de limite en un point revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe représentative de la

définie sur Ensemble R par f(x) = 2x - 1, revient à calculer la valeur de x telle que 2x - 1 = 3. • Attention, pour certaines fonctions un réel peut avoir plusieurs antécédents. Il peut aussi n'avoir aucun antécédent. • Soit une fonction f et I un intervalle inclus dans l'ensemble de définition de f. • Si pour tout couple de nombres a et b de l'intervalle I tels que a < b, on a f(a) < f(b), alors f est croissante sur I (on dit aussi que f conserve l'ordre). • Si pour tout couple de nombres a et b