Intervalle

points d’un intervalle compact [a, b] contient une suite partielle convergeant vers un point de cet intervalle. c) La propri´t´ des valeurs extrˆmes. ee e L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle compact. d) Le th´or`me des accroissements finis. e e Si f : [a, b] → R est d´rivable sur ]a, b[ et continue sur [a, b], il existe e un point c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = f (c)(b − a). e) Le th´or`me de Taylor. e e Si f est n + 1 fois d´rivable dans un intervalle ouvert

f(x) = 3 b) f(x) ≥ 3 c) f(x) > -2 d) f(x) = -x +  e) f(x) ≤ -x +  4) Dresser le tableau de signe de f 5) Décrire les variations de f : 6) Compléter : maximum atteint en minimum atteint en sur [– 4 ; 6] sur [– 8 ; 7] 7) Citer un intervalle sur lequel la fonction est positive et décroissante. Exercice 2 : Soit g une fonction définie sur [– 8 ; 0] telle que : g soit croissante sur [– 5 ; – 2], décroissante sur [–8 ; – 5] et sur [– 2 ; 0],l'image de 0 soit 2, celle de – 8 soit 3, g admet

4i 5) Soit f une fonction définie sur un domaine D tel que pour tout x appartenant à D , 4 – x  D et f(4 – x) = 2 – f(x) alors le point A(2,1) est un centre de symétrie de la courbe représentative (C) de f 6) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel de I. Si f ’(a) = 0 alors f admet un extremum local en a . 7) Soit f une fonction dérivable sur IR, Si h(x)= f(2x +1) alors h’(x)= f ’(2x +1) 8) La droite d’équation x = 1 est asymptote à la courbe de f avec f(x) = Exercice

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4.1 Fonctions localement intégrables Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f (x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f :

. Nombre dérivé en x0 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0. On dit que f est dérivable en x0 si la quantité admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé en x0 et notée f '(x0). Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée. 2. Meilleure approximation affine Théorème 1 f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x0+ h) = f(x0)

et g = u ° v . ∀ x ∈ D f , f x =v ° u  x= 1  x − 4 2 1 x −4 2 D g = { x ∈ ℝ ; v  x  ≠ 4 } = ℝ − {−2 ; 2} et ∀ x ∈ D g , g  x  = u ° v  x  = ) Sens de variation 1 ) Définitions Soit f une fonction définie sur D f et I un intervalle de D f . Définition 1 : f est strictement croissante sur I signifie ∀  a , b  ∈ I 2 , si a b alors f  a   f  b  (ch01 fonction croissante.ggb) Définition 2 : f est strictement décroissante sur I signifie ∀  a , b  ∈ I 2 , si a b alors

1 dx = ∫ x3 dx + ∫ (x2 +1)² dx = 2x² − 1+x² + C k4 1 k4 on constate que Sn = ∑nk=1 n5 = n ∑nk=1 n4 est une somme de Riemann de x ↦ x 4 sur [0,1]. 1 x5 1 On en déduit : limn→∞ Sn = ∫0 x 4 = [ 5 ] 10 = 5 Partie II Exercice 1 : Soit ? un intervalle ouvert de ℝ et ∅ ∶ ? → ℝ une fonction convexe, on rappelle ∅ que est continue et que pour tout (?1, ?2 … … . ?? ) ∈ ℝ? . (z1 + z2 + ⋯ + zn ) ∅(z1 ) + ∅(z2 ) + ⋯ … . . +∅(zn ) )≤ ? ? [?, 1) Soit ? une fonction continue sur un ségment ?] avec (? <

la musique, un intervalle désigne l'écart de hauteur entre deux notes. Cet écart est : * harmonique si les deux notes sont simultanées, * mélodique si les deux notes sont émises successivement. En acoustique, un intervalle désigne le rapport des fréquences de deux sons. La perception des intervalles diffère selon les cultures : chaque type de musique (indienne, occidentale, orientale, etc) est construit sur des intervalles caractéristiques. Généralités Chaque intervalle est caractéristique

Intervalles de On rappelle que l’ensemble des nombres réels est noté , qu’il contient tous les nombres connus et étudiés en classe de seconde, qu’il est infini et totalement ordonné, ce qui signifie qu’étant donné deux nombres et quelconques, on peut toujours écrire ou ou . On peut représenter géométriquement l’ensemble des nombres réels par une droite orientée munie d’une origine, correspondant au nombre 0, et une unité de longueur, correspondant au nombre 1. I) Les neuf types d’intervalles

courbe représentative de la fonction exponentielle en | | |son point d’abscisse1. | 2) Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I. |Affirmation 2.a |Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. | |Affirmation 2.b |Si f est continue en a, alors f est dérivable