Lois de Kirchhoff

des math´matiques voit ses d´buts en 1736 par la caract´risation des graphes e e e Eul´riens. Euler s’´tait pench´ sur le probl`me des sept ponts de K¨nigsberg 1 [Euler, 1759]. Des e e e e o notions de graphes ont ensuite ´t´ utilis´es par Gustave Kirchhoff pour sa loi des circuits. Depuis ee e les ann´es 1950, l’informatique utilise des algorithmes issus de cette th´orie. D`s les ann´es 1960, e e e e Claude Berge d´veloppe la th´orie des graphes telle que nous la connaissons aujourd’hui [Berge, e e

l’intensité du courant i, c’est-à-dire L = L(i). La loi d’Ohm donne e− d(i1 L(i1 )) = i1 R1 + v, dt où R1 est une résistance. En supposant que le courant est dirigé comme indiqué sur la Figure 7.2, on trouve, en dérivant par rapport à t la loi de Kirchhoff i1 = i2 + i3 et en remarquant que i3 = Cdv/dt et i2 = v/R2 , l’équation supplémentaire d2 v 1 dv di1 =C 2 + . dt dt R2 dt 208 7 Equations différentielles ordinaires R1 L i1 i3 e I Figure 7.2. Le circuit électrique du Problème 7.4 C i2

multiplication peut provoquer des incidents non prévisibles. Certes, les lois de l'électricité, de l'électrotechnique sont connues et certaines depuis fort longtemps, elles sont enseignées dans les écoles (Maxwell, Ohm, Lenz, Kirchhoff...) mais très souvent elles modélisent des phénomènes interdépendants dont les interactions sont illimitées. La modélisation du système total est impossible. Il faut donc, connaissant ces lois, apprendre à les mettre en œuvre, découvrir leurs limites cas par cas, en