Mouvement brownien

droit, mais pas l’obligation, d’acheter une action de mani`re diff´r´e tout en se garantissant sur son prix. La d´termination e ee e du prix des options est un probl`me complexe, qui donne lieu, apr`s mod´e e e lisation stochastique ` l’aide du mouvement brownien, ` la r´solution d’´quaa a e e tions aux d´riv´es partielles depuis le travail fondateur de Black-Scholes [BS73] e e et Merton [Me73]. Nous renvoyons le lecteur ` l’ouvrage de Lamberton et a Lapeyre [LL92] pour une introduction aux m´thodes

implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Retour ` Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ 5 Equations diff´rentielles stochastiques (EDS) e 5.1 Rappels : mouvement brownien, martingales, int´grales et proe cessus stochastiques, formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Application au delta-hedging des options et ´quation de Black& e Scholes, Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Formules

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.8 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.9 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.10 Processus de Wiener (ou mouvement brownien) . . . . . . . . . . 133 3.11 Problèmes et exercices pour l’Ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . 136 ii TABLE DES MATIÈRES 4 EDO non-linéaire 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Equations différentielles

3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 i 116 120 124 125 127 127 132 139 141 146 Définitions Processus équivalents Moments Continuités Processus stationnaires Exemples de processus aléatoires Martingale Mouvement brownien Marche au hasard Processus et chaînes de Markov Processus ponctuels Application aux phénomènes d’attente 147 148 149 149 150 153 154 156 157 158 166 170 C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon

9 • Processus aléatoires 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 116 120 124 125 127 127 132 139 141 146 Définitions Processus équivalents Moments Continuités Processus stationnaires Exemples de processus aléatoires Martingale Mouvement brownien Marche au hasard Processus et chaînes de Markov Processus ponctuels Application aux phénomènes d’attente 147 148 149 149 150 153 154 156 157 158 166 170 C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon. Application aux échantillons

EXERCICE 1 : 1)a) 2001 correspond au rang 1 donc 2012 sera le rang 12. X=12, y=-2,89x12+102,59= 67,91. b) Taux= ((67,91-84)/84)x100= -19,15% . Ce qui correspond à une baisse de 19,15%. 2)a) Xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Zi=lnyi | 4,608 | 4,594 | 4,517 | 4,494 | 4,494 | 4,447 | 4,431 | 4,381 | 4,331 | b) Par la méthode des moindres carrées avec la calculatrice : a=-0,03276…et b=4,63894…. Donc z=-0,0328x+4,6389. c)D’après b) on a : lny= -0,0328x+4,6389 c'est-à-dire y=e-0

Black-Scholes (1973) (prix Nobel en 97, avec Merton) 5 105 104.5 104 103.5 103 102.5 102 101.5 101 100.5 100 99.5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 St valeur du sous-jacent  dérive Temps (jours)  volatilité Wt processus de Wiener (Brownien) S(t) Modèle de Black-Scholes 6 Hypothèses du modèle :  et µ connus et constants pas de frais d'achat / vente pas de dividendes arbitrage impossible Produits dérivés 7 Call européen droit d'acheter un sous-jacent à date T

utilis�e pour nommer une s�ance de la deuxi�me phase. La premi�re phase : SEANCES SITUATIONS CONTENU H1 sous-groupe-logiciel + sous-groupe-fiches MEP Exercices de MEP (Mouvement uniforme + graphiques) : 6N5s0ex3 5N5s4ex3 5N5s4ex6 5N5s4ex7 5N5s4ex8 5N5S1ex6 FICHES PAPIER Graphiques, mouvement uniforme ou pas. Fiche_H1H2.pdf L'objectif est de faire travailler les �l�ves sur le langage des graphiques en privil�giant : son lien avec le langage des tableaux maintenant familier

dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d’état. Cela signifie qu’une bille qui roule en ligne droite sur le sol continuera à rouler en ligne droite à l’infini à moins qu’une force n’agisse sur elle.  En fait, on imagine bien que la bille va finir par s’arrêter. Cela est dû à la force de frottement entre la bille et le sol qui s’oppose au mouvement de la bille.  Sans cette force

Préparer le sol FT22 Régler les patins FT23 Déplier/Replier la grue Utiliser la grue FT231 Déplier/Replier le mat FT232 Déplier/Replier la flèche FT2321 Transformer l’énergie hydraulique en énergie mécanique FT2322 Transformer le mouvement de translation en mouvement de rotation FT24 Mettre/Enlever les contrepoids Vérin hydraulique Embiellage FP3 : Déplacer une charge FT31 Déplacer verticalement une charge FT311 Déplacer la charge FT312 Retenir la charge FT313 Limiter la charge FT32 Orienter