Nombre premier

9-78-210-050692-7 Pr´ambule e Cet ouvrage a ´t´ initi´ au printemps 2000, avec la cr´ation du D´partement ee e e e ENSIMAG-ENSERG T´l´communications ` l’Institut National Polytechnique ee a de Grenoble et la construction d’un cours g´n´ral de premi`re ann´e (niveau e e e e Licence troisi`me ann´e dans le sch´ma LMD) d’introduction aux codes et ` e e e a leurs applications. ´ e Edit´ initialement sous forme de polycopi´, il a ´volu´ en devenant un support e e e de cours de r´f´rence pour diff´rents

plupart des erreurs de raisonnement usuelles) de premier cycle d’études. Par suite, il ne faudra pas hésiter à le relire et le réapprendre de nombreuses fois, quand plusieurs chapitres auront défilé et que vous aurez gagné en maturité. Vous devrez chercher à en cerner l’aspect pratique et en particulier à bien maîtriser les quelques exercices corrigés. Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions apparaissant dans les trois premiers chapitres (logique, ensembles et applications

demandait de calculer 1+2+...+100, et Gauss inscrivit immédiatement le résultat sur son ardoise. Ce n'est pas qu'il fut un génial calculateur, mais il avait trouvé une formule générale pour calculer de telles sommes. A l'université, à 19 ans, il fut le premier à démontrer : * la loi de réciprocité quadratique : Dans le cas de deux variables réelles x et y, une forme quadratique f est une fonction numérique de deux variables de la forme f(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 , g(x,y,z) = ax2 + 2bxy + 2cxz + 2dyz

math´matiques seront utiles demain : l’exemple e des coniques Mˆme si certaines des math´matiques actuelles semblent ˆtre d´pourvues e e e e d’applications, rien ne dit qu’elles n’en auront pas demain. Voici deux exemples en ce sens. Le premier concerne ce qu’on appelle les coniques. Ce sont des courbes (ellipses, paraboles, hyperboles) que vous avez peut-ˆtre d´j` vues e ea ` et que les anciens Grecs ´tudiaient pour leurs propri´t´s g´om´triques. A e ee e e l’´poque, elles n’avaient

symétrie de centre I. a) Démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires b) Donner la nature du quadrilatère ABCD et puis calculer son aire. EXERCICE 1 : L’entier naturel S désigne la somme des diviseurs positifs de p4, où p est un nombre premier plus grand que 2 1. Exprimer S en fonction de p. 2 2 w p: w // w m .e at du hs ca .e m du e r. ca o m rd er .o rg / 04 Points (série C uniquement) 2 2 2. Écrire un équation cartésienne du plan (ABC) 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 1 pt

X ∈ ℘(E) Exercice 3 [ 02983 ] [correction] On considère sur F(E, E) la relation binaire R définie par : f Rg ⇔ ∃ϕ ∈ S(E) telle que f ◦ ϕ = ϕ ◦ g Exercice 7 X MP [ 03243 ] [correction] Soit G un groupe multiplicatif de cardinal pα avec p premier et α ∈ N . Montrer que Z(G) = {1} Groupes a) Montrer que R est une relation d’équivalence. b) Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnée f ∈ S(E). Exercice 8 [ 00113 ] [correction] Un sous-groupe d’un groupe produit est-il

x 3 = 18 9 + ……... x 3 = 33 30 - ….…. x 5 = 15 Exercice 4 : Amélie dépense 24,7 € pour acheter 5 cahiers à 3,44 € l’un et des paquets de grandes feuilles perforées à 1,25 € le paquet. Ecrire en une seule expression le nombre de paquets qu’Amélie a achetés puis calculer ce nombre. Exercice 5 : Un fleuriste compose 12 bouquets contenant chacun 6 roses à 1,10$ pièce et 4 tulipes à 0,9$ pièce. Calculer de 2 façons différentes le prix de 12 bouquets. Exercice 6 : Quatre amis ont gagné ensemble

Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note

4 – Un ≤   × ( 4 – U0 ) soit 4 – Un ≤ 4 × 2 c) Retrouver alors le résultat de la question 1-c) . n 1   2 n Exercice n° 2 ( 5 points) 1-Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que pgcd( a + b , ab ) = p où p est un nombre premier . a) Démontrer que p divise a² ( on pourra remarquer que a² = a(a + b) – ab ) b) En déduire que p divise a. On montrerai de même que p divise b. c) Démontrer que pgcd( a , b ) = p 2- On désigne par a et b des entiers naturels tels que a ≤ b .

Universit´ e Lille I Alg`ebre et th´eorie des nombres 2009/10 Math308 Fiche n◦ 4: Th´eor`emes de Sylow Exercice 1 Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si H et G/H sont des p-groupes, il en est de mˆeme de G. Exercice 2 Soit G un p-groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que H ∩ Z(G) n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre. En d´eduire que le centre Z(G) d’un p-groupe est non trivial. Exercice 3 Soit G un p-groupe d’ordre pr . (a) Montrer que pour