Nombre premier

Suite définie par une sommation : On conjecture que la suite (Vn) est croissante, qu 'elle est majoréé 1,65. On conjecture alors qu'elle converge vers un réél L inférieur ou égal à 1,65. Au bout du rang 32 (Vn+1) – (Vn) ≤ 10^-3 car (Vn+1) – (Vn) =0,00097656 et au bout du rang 317 on a (Vn+1)-(Vn) ≤ 10^-5 car (Vn+1)-(Vn) = 9,9513E-06 On constate que la différence entre deux termes consécutifs tend vers 0 quand n tend vers + l’infini. Ceci confirme bien que plus n sera grand plus plus (Vn)

2009 par t1 . b) Déterminer le reste dans la d.ivision euclidtenne de 27o par LL. c) Dëterminer le reste dans Ia division eucltdtennu 41 22a0e + 2009 par Lt. 2) On déstgne par p unnombre entier naturelOn considère pour tout entter naturelnonnltln, le nombre: An = 2" * p . Onnote dole PGCD de An et An*1. a) Montrer que dn divtse 2n. b) Déterminer la parité de An en f onction de celle de p . Justif ier. c) Dans cette question,toute trace de recherche ,mhne incomplète,ou d'inttiative mëme nan f ructueus

fiche n° 10 POLYNOMES On note K = R ou K = C et X la fonction x a x . Définitions Un monôme sur K est de la forme aX k où k ∈N et a ∈ K . Un polynôme P sur K est une somme finie de monômes. Si le polynôme P n’est pas nul, il existe un unique n ∈N et un unique (a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout

Terminale S3 Corrigé du Devoir Maison n˚ 5 Mardi 1er mars 2 011 Exercice : Formule de l’exponentielle Soit un réel. ( ) la proposition « e = (e ) ». Démontrons-la par récurrence sur ℕ. Pour tout entier naturel , on note Initialisation : Pour donc = 0, on a e0× = e0 = 1 = (e )0 (0) est vraie. ( ) vraie et montrons qu’alors ( + 1) l’est aussi. Hérédité : Soit un entier naturel. Supposons Il vient alors e( +1) = e = e + ×e 1 +1 d’après les formules algébriques de

entier naturel n non nul, un le salaire annuel au bout de n années. 1- Calculer u1. u1 = 1,03*u0 = 20600. 2- Exprimer un+1 en fonction de un, puis dire si la suite est croissante ou non. un+1 = 1,03 * un → comme on multiplie par un nombre plus grand que 1 un nombre positif, la suite (un) est croissante. 3- A l'aide de la calculatrice : a) Déterminer le salaire annuel au bout de 20 ans. Même démarche, on trouve 36122€ / an. b) Déterminer au bout de combien d'année le salaire aura doublé. Même

diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers (c’est la division vue ` l’´cole primaire). a e Voici la division euclidienne de 85 par 3 : Signification : 85 = 3 ¢ 28 + 1 Dans 85, il y a 28 fois le nombre 3 et il reste 1. Remarquons que le reste est toujours strictement inf´rieur au diviseur. e II. Diviseurs et multiples d’un nombre D´finition e Soient m et d deux nombres. On dit qu’un nombre d est un diviseur d’un nombre m s’il divise ce nombre, c’est-`-dire si le reste de a la division

appelle indicatrice d’Euler la fonction qui ` un entier n fait e a correspondre le nombre d’entiers a premiers ` n v´rifiant 1 ≤ a ≤ n. On note a e cette fonction ϕ. Si p est un nombre premier, alors tout entier compris entre 1 et p − 1 est premier ` p, aussi ϕ (p) = p − 1. On peut ´galement calculer assez facilement a e ϕ (pn ), toujours pour p premier et n ≥ 2 entier : les nombres premiers ` pn sont a exactement les nombres non multiples de p. Or entre 1 et pn , il y a exactement pn−1 multiples de p.

NOM : PRENOM : NOTE : Un nombre est premier lorsque les restes des divisions euclidiennes de n par tous les entiers compris en 2 et √n ne sont pas nulles. 1. / Donner les restes des divisions euclidiennes de 103 par tous les entiers compris entre 2 et √103 et vérifier si 103 est un nombre premier ou non. 103/2 : le reste de la division euclidienne est de 1 103/3 : le reste de la division euclidienne est de 1 103/4 : le reste de la division euclidienne est de 3 103/5 : le reste de la division

Exo7 Arithmétique dans Z 1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 Sachant que l’on a 96842 = 256 × 375 + 842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des nombres 256 et 375. Indication Correction Vidéo [000251] Exercice 2 Montrer que ∀n ∈ N : n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24, n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120. Correction Vidéo [000257] Exercice 3 Montrer que si n est un entier

Crible G´en´eralis´e sur le Corps de Nombres Khalid HAZAM hazam.khalid@gmail.com Projet de Cryptographie Ing´enierie Math´ematique Informatique Appliqu´ee a` l’Economie Facult´e des Sciences et Techniques Mohammedia Encadr´e par: Pr. O. Khadir 20 mai 2011 Avant de commencer, je tiens ` a remercier Pr. O. Khadir de m’avoir donn´e l’opportunit´e de travailler sur un sujet aussi riche, et en mˆeme temps d’avoir ´et´e extrˆemement patient avec moi, me permettant ainsi de mener ` a bien