Nombre réel

sur ]0, +∞[. On en déduit que f est dérivable sur [0, +∞[. De plus, pour tout réel x 0, f ′ (x) = Maintenant, pour tout réel positif x, (1 + xe−x ) ′ 1 × e−x + x × (−e−x ) (1 − x)e−x = = . 1 + xe−x 1 + xe−x 1 + xe−x e−x > 0. On en déduit que pour tout réel positif x, f ′ (x) est du signe de 1 − x. 1 + xe−x 3) On en déduit le tableau de variations de f. x f (x) f 0 PARTIE II 1) Première méthode. a) Soit λ un réel strictement positif. La fonction f est continue et positive sur [0, λ]. Donc A(λ)

fonction f. Remarque Un extrémum est une des images, c’est une des valeurs prises par la fonction. Il ne faut pas confondre la valeur de l’extrémum, f ( x 0 ), avec le nombre x 0 . Séquence 6 – MA12 3 © Cned - Académie en ligne ̈ Exemple Soit f définie sur R par : f ( x ) = ( x − 1)2 − 2 . Pour tout réel x, on a f ( x ) ≥ f (1) car f (1) = −2 et ( x − 1)2 − 2 ≥ −2. Le minimum de f sur R est donc égal à −2 et ce minimum est atteint pour x 0 = 1. 2. Variations des fonctions

le quotient de deux fonctions polynômes. Pour lever les indéterminations au voisinage de l'infini telles que ou , on calcule la limite du quotient des termes de plus haut degré. On écrira par exemple : Si le dénominateur s'annule pour une valeur réelle, on calcule séparément la limite du numérateur et celle du dénominateur au voisinage de cette valeur interdite. Par exemple, pour la fonction g définie sur ]1 ; +[ par , il faut calculer la limite de g(x) lorsque x s'approche de 1, par valeurs supérieures

x la longueur de ficelle utilisée pour le rectangle. (51 − x)2 En déduire que l’aire du rectangle vaut 18 2. On note f la fonction qui à x associe la somme des aires du carré et du rectangle. a) Quel est l’ensemble de valeurs possibles pour le réel x ? b) Donner une expression de f (x). c) Recopier et compléter le tableau suivant : x 0 5 10 15 20 25 30 35 f (x) 40 45 51 d) Donner une interprétation de f (0) et de f (51) 3. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on

[pic]2 et - [pic]2 ont pour image 4. c) Pourquoi -4 n'est-il l'image d'aucun réel? d) Quels sont les réels qui ont 5/4 pour image par f? exercice 2 f est la fonction définie sur [pic]par :   x [pic]x² + 3x + 1 a) Calculer les images par f des réels 0; 1; -[pic]3 ; ½. b) Trouver tous les réels qui ont pour image 1 par f. exercice 3 a) Quel est l'ensemble de définition de la fonction x[pic]x ? b) Quel est le réel pour lequel on ne peut pas calculer [pic]? Donnez alors l'ensemble de définition

et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0. 1. Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle. Affirmation 1. a Pour tous les réels a et b : (ea )b = e e ab . a Affirmation 1. b Pour tous les réels a et b : ea−b = Affirmation 1. c La droite d’équation y = x +

assez éloignées l’une de l’autre et assez techniques l’une et l’autre ! Propriété La fonction ln x est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x )' = 1 x Démonstration 1 Le principe On travaille en deux temps : dérivable en 1 puis dérivable pour tout réel strictement positif Pour retenir cette démonstration Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout ! On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on utilise les propriétés géométriques des courbes de ln x et de ex . Les pré requis

intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note : lim f ( x ) = + ∞  → Cf Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .  → x → +∞ j Rem : De manière plus mathématique ( moins intuitive … ) : Pour tout réel M > 0 , il existe un réel m tel que , si x > m , alors f ( x ) >

Prénom : Anh Tuan Sujet N° 19 1 Table des matières 1. Présentation générale et Descriptions des traitements à effectuer 1.1 Rappels sur le modèle composé 1.2 Lois du nombre de sinistres 1.3 Lois du coût de sinistres 1.4 Type du contrat. 2. Algorithmes, techniques et résultats de simulations 2.1 Simulation de nombre de sinistres (N suit une loi Géométrique généralisée de paramètres GG (a, )) a et 2.2 Simulation de lois de coût de sinistre (le montant de coût individuel de sinistre suit

DÉRIVATION I) NOMBRE DÉRIVÉ Définition 1 On dit qu'une fonction ¦ définie sur un intervalle I contenant a est dérivable en a s'il existe un réel A tel que : pour tout réel h tel que a + h Î I : ¦(a + h) = ¦(a) + Ah + hj(h) avec lim j(h) = 0 h®0 Le nombre A s'appelle nombre dérivé de ¦ en a ; on le note ¦'(a). Exemple : La fonction ¦, définie sur , par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est-elle dérivable en a ? Pour le savoir, calculons ¦(a + h) : ¦(a + h) = (a + h)2 + 3(a + h) – 4 = a2 + 2ah + h2