Nombre réel

des contraintes de la fonction objectif. L'additivité des effets. La proportionnalité des gains/coûts et des consommations de ressources. 2. La divisibilité des variables. 3. La détermination des données. 4. Lors de la modélisation d'un problème réel, l'impact de ces hypothèses sur la validité du modèle mathématique doit être étudié. Cette analyse peut mener à choisir un modèle différent (non linéaire, stochastique,...) et est essentielle pour la phase d'interprétation des résultats fournis par

( x ) ≥ f ( x 0 ), alors on dit que f ( x 0 ) est le minimum de f sur I. Exemple Soit f définie sur R par : f ( x ) = ( x − 2)2 − 2 . Pour tout réel x, on a : E f ( x ) = ( x − 2)2 − 2 ≥ −2 = f (2) alors f (2) = −2 est le minimum de f sur R . 2. Parité Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport au nombre 0. E Si E Si pour tout x de I, f ( − x ) = f ( x ) alors f est paire. pour tout x de I, f ( − x ) = −f ( x ) alors f est impaire. E Interprétation

récurrence sur . Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier naturel non nul, qu'on a multiplié x, n fois par lui-même (on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par lui-même n’a pas de sens (1 fois pourrait être discutable, mais en disant « le produit de n facteurs égaux à x », la réserve n’as plus de raison d’être)). Définition mathématique (1) : on note le nombre défini par la relation de récurrence suivante : On voit rapidement qu’avec

SOUS-ESPACE VECTORIEL INTERSECTION DE SOUS-ESPACES VECTORIELS REUNION DE SOUS ESPACES VECTORIELS SOMME DE SOUS-ESPACES VECTORIELS SOMME DIRECTE DE SOUS-ESPACES VECTORIELS SOUS-ESPACES VECTORIELS SUPPLEMENTAIRES 8 8 9 10 10 11 12 BASE D’UN ESPACE VECTORIEL REEL ............................................................................... 14 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4 3 3 3 3 4 4 6 8 STRUCTURE DE SOUS-ESPACE VECTORIEL.......................................................................... 8 2.1 2

question et la mention « vrai » ou « faux ». Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro. 1. « Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ; +∞[, alors lim f (x) = −∞. » x→+∞ 2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0 ; +∞[, g ne s’annulant pas : f (x) = −1 ». « Si lim f (x) = −∞ et si lim g (x) = +∞ alors

R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes. On rappelle que F(I, K) est l’ensemble des fonctions définies sur I et à valeurs dans K. Définition 20.1.1 (uniforme continuité) Soit f un élément de F(I, K). On dit que f est uniformément continue sur I si : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x, y) ∈ I × I, |x − y| δ ⇒ |f (x) − f (y)| ε . La définition précédente doit se lire de la manière suivante : « Pour tout réel strictement positif ε (sous-entendu : aussi petit soit-il), il existe un réel strictement

Ensembles de nombres 2 = 1 2 donc A = 0, 2 = ∈D ; 5 10 21 2, 1 = donc B = 7 ∈ N ; 0, 3 3 3. C = (−10)6 = 106 donc C ∈ N ; 4. D = √ √ √ 2 × 8 = 16 donc D = 4 ∈ N ; Exercice 2. 4 + 2 = 6 points 5. Pour E on utilise l’expression conjuguée 1 1 √ + √ E= 1+ 2 1− √ 2 √ 1 × (1 − 2) 1 × (1 + 2) √ √ + √ √ E= (1 +√ 2) × (1 √ − 2) (1 − 2) × (1 + 2) 2 1− 2+1+ 2 = E= 1−2 −1 donc E = −2 ∈ Z ; Vrai ou Faux 4 × 2 = 8 points 1. Le produit de deux nombres irrationnels et toujours un nombre irrationnel. Faux

pour tout réel x : u’(x)+u(x)= e-x . u est donc solution de (E). 2) Les solutions de (E’) sont de la forme : y(x)=Ce-x où C est un réel fixé. 3) V est solution de (E) si et seulement si pour tout réel x v’(x)+v(x)=e-x, ce qui équivaut à : Pour tout réel x v’(x)+v(x)= u’(x) +u(x), ce qui équivaut à : Pour tout réel x (v-u)’(x)+(v-u)(x)=0, ce qui équivaut à : v-u est solution de (E’). 4) Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme : v(x)= Ce-x +xe-x . C étant un réel fixé

dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes Formules de Taylor Développements limités Probabilités et Statistiques On identifie le plan avec R × R = R2 , l’ensemble des couples de nombres réels et l’espace avec R × R × R = R3 . Définition Un vecteur est un segment orienté : il est défini par sa direction (la droite qui le contient), son sens (celui donné par son orientation) et sa norme (la longueur du segment ; on dit aussi son

Lycée Camille SEE 2002 / 2003 DERIVATION T.ES I - NOMBRE DERIVE f est une fonction définie sur un intervalle I. a et x = a + h sont deux valeurs distinctes de I. A ( a, f (a)) et M ( x, f (x)) sont deux points de la courbe représentative de la fonction. f ( x) − f (a) Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est m = , c’est le x−a taux de variation de la fonction entre a et x. M A M O A A a h x O a h x=a+h O h Lorsque M devient de plus en