Parallélogramme

que AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. → Connaître les coordonnées (xB - xA,yB - yA) du vecteurAB. Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs dans un repère. → Utiliser la notation λ u . Etablir la colinéarité de deux vecteurs. Construire géométriquement la somme de deux vecteurs. Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs. Exercice 1 : (4 points) Soit ABCD un parallélogramme. I, J, K et L sont les milieux respectifs

VECTORIEL EXERCICE N°1 Soit ABCD un parallélogramme de centre O uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 1) Construire le point M tel que OM = OA + OD et le point N tel que ON = OB + OC uuuur uuur r 2) Montrer que OM + ON = 0 3) Quelle est la nature du quadrilatère ABNI EXERCICE N°2 Soit ABCD un parallélogramme uuur uuur uuur uuur 1) Construire les points E et F tels que : BE = 2 AB et AF = 3 AD 2) Construire le point G tel que AEGF soit un parallélogramme 3) Démontrer que les points A, C et

(6 ; 4) . 1. Calculons AB, AC et BC : 3 5 2 1 2 3² √ b) On sait que I est le milieu de [BD] et de [AC]. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c’est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. On sait que ABCD est un parallélogramme et que (BC) et (BA) sont perpendiculaires. Si un parallélogramme possède un angle droit, alors c’est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle. On sait que ABCD est un rectangle et que BC = AB. Si un rectangle possède deux côtés consécutifs

D soit un parallélogramme. Exercice 2. Soient les points A(−9 ; −10), B (2 ; 9), C (5 ; 3), D(−1 ; −8) et E (3 ; 0). 1. Les points C , D et E sont-ils alignés ? 2. Les droites (AB ) et (C D) sont-elles parallèles ? Exercice 3. On considère les points A(−2 ; 2), B (−3; −3), C (5 ; 1) et D (2 ; 4). E est le milieu du segment [BC ]. −→ − − → 1. Montrer que AD et BC sont colinéaires. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABC D ? 2. Montrer que AB E D est un parallélogramme. 3. Déterminer

par rapport à M donc M est le milieu de [CB] Donc les diagonales se coupent en leur milieu M . Donc ABDC est un parallélogramme. On montre que le parallélogramme à un angle droit en B:( on peut aussi montrer que les diagonales ont même longueur) AB =  18 donc AD 2 = AB 2  BD 2 donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore ABD est AD =  26 rectangle en B. Donc le parallélogramme a un angle droit : c'est un rectangle BD =  8 Exercice 4 (5 points) 1) La moyenne de la classe est ≈ 12,2

diagonales du quadrilatère ACBD ont le même milieu donc ACBD est un parallélogramme. 4. a) E est l'image du point A par la translation de vecteur  donc BC = BC AE  x C −x B=1,5−2,5=−1 et  x E −x A= x E 1 BC AE y C − y B=−1,5−2=−3,5 y E− y A= y E −3 2. { { { ∣ { ∣ { { x E 1=−1 ⇒ x E =−2 y E −3=−3,5 y E=−0,5 b) = donc ABCE est un parallélogramme. BC AE D'après la question 2, le parallélogramme a un angle droit donc c'est un rectangle. (De plus, on a constaté

Constructions : a. On place les points libres A, B et C.Comme ABCD doit être un parallélogramme, les vecteurs formule et formule doivent être égaux : il suffit de construire D comme image de C dans la translation de vecteur formule.Le milieu O de [AC] est le centre du parallélogramme b. De la même façon, AMDN parallélogramme ⇔ formule = formule ⇔ N image de D dans la translation de vecteur formule et AMPB parallélogramme ⇔ formule = formule ⇔ P image de B dans la translation de vecteur formule

POINTS) Questions 1, 3 (construction) : On utilise évidemment des parallélogrammes cachés pour la construction. H N 2. G M E 1 + 1 pts F EF GM EF Le point M est l'image de G par la translation de vecteur ⃗ donc ⃗=⃗ En particulier, GMFE est un parallélogramme, par conséquent, ⃗ ⃗ . 1,5 pts EG= FM 4. ⃗ ⃗ donc ⃗=⃗ EG= FM MF GE ⃗ =⃗ or HN GE HN MF donc ⃗=⃗ en particulier FMHN est un parallélogramme. 2 pts EXERCICE 3 : (8,5 POINTS) PARTIE A (5,5 POINTS) 2

elles. On sait que d et d’ sont perpendiculaires à d’’. Or si … alors … Donc d et d’ sont parallèles. Côtés opposés d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange, d’un carré. Si un quadrilatère est un parallélogramme ( ou un rectangle, un losange, un carré ) alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. On sait que ABCD est un parallélogramme. Or si … alors … Donc (AB) et (DC) sont parallèles. Et aussi : (AD) et (BC) sont parallèles. Théorème des milieux. Si une

⃗ AB=⃗ u ⃗ 2. AC =−2 ⃗v 3. ⃗ AD=⃗u +⃗v 4. ⃗ AE=2 ⃗ u − ⃗v ⃗u C ⃗v E B A D EXERCICE 2 : / 1,5 points Difficulté : Hortense a écrit « Si M, N, P et Q sont quatre points du plans tels que ⃗ MN =⃗ PQ , alors MNPQ est un parallélogramme. » Est-ce vrai ou faux ? Justifier. Ce devoir n'est qu'un exemple. En aucun cas il ne constitue un modèle. Correction : C'est faux. Hortense a commis une erreur classique en inversant certains points. Un schéma représentant deux vecteurs