Plan complexe

Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b. Démontrer que le vecteur n ( 1 ; − 1 ; − 1 ) est un vecteur normal au plan (ABC). c. Déterminer une équation du plan (ABC). 2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC). b. Déterminer les coordonnées du point O’, projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). 3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC). Soit t le réel tel que BH = tBC . a. Démontrer

chapitre Chapitre 3 Nombres complexes et trigonométrie Sommaire 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Notation cartésienne, plan complexe . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Notation cartésienne, partie réelle, partie imaginaire . . . . . 3.1.2 Plan complexe. Affixe d’un point, d’un vecteur . . . . . . . . 3.1.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Notion de transformations du plan complexe . . . . . . . . . Module et distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . 3.2

NOMBRES COMPLEXES Démonstrations Démonstration 01 (retour au cours) Considérons un nombre complexe   s'écrivant de deux façons : ☎✝✆   ✁ ✂ ✄ et ✞ ✟ ✠☛✡☛☞✍✌✎✡ ✏ , avec ✑✓✒✕✔✖✒✕✑☛✗✘✒✕✔✎✗ réels. On a alors ✑ ✙ ✔✝✚ ✛ ✑☛✗☛✙✍✔✎✗ ✚ et on en déduit ✜✣✢✍✜☛✤✦✥★✧✪✩✬✫✎✤✭✢✍✫✦✮ Supposons que ✫ ≠ ✫✎✤ , on aurait alors ✧ ✥ ✜ ✢ ✜☛✤ , ✫✎✤ ✢ ✫ ceci n'est pas possible puisque ✧ ∉ IR alors que ✜ ✢ ✜☛✤ ∈ IR ✫✎✤ ✢ ✫ On ne peut donc pas avoir ✫ ≠ ✫✎✤ , ce qui signifie que ✫✯✥★✫✎✤ . Alors ✫✎✤✭✢✍✫

EXERCICE 1 : Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants : a) Z1 = 5(cos[pic]) ; Z2 = 2(sin[pic]+ i.cos[pic]) ; Z3= 1-i.tg[pic] . b) Z1=[pic]. c) Z1= 1+[pic] ; Z2= 1-[pic] ; Z3= 1+i[pic] ; Z4= 1-i[pic] ; [pic]. EXERCICE : Soit f :[pic]. 1) Donner la forme algébrique de f(i). 2) Montrer que :[pic]. 3) Montrer que :[pic] 4) Montrer que si f(z)[pic] alors[pic]. EXERCICE N°: Dans un plan rapporté à un repère orthonormé direct ([pic]. On considère les points

Sujet 2 i / 6 2i / 3 On considère, les nombres complexes z A  4e ; z B  4e et , zC  2  2i . Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal. Les parties I , II et III sont indépendantes Partie I : Q. C.M. Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou Dest exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification NOTATION : chaque réponse juste rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève

Séries d’exercices ( Nombres Complexes) Classe : 3ème Math + Sc Exercice 1 : On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ). Dans tout l’exercice P \ {O} désigne le plan P privé du point origine O. 1) On prend comme pré-requis les résultats suivants : Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg (zz’) = arg (z) + arg (z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. Pour tout vecteur non nul d’affixe z on a :

nombres complexes Comme on l’a vu précédemment il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d’un objet. On a donc pu observer que presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières. Il existe par ailleurs toute une série d’objets fractals qu’il est possible de construire à partir d’opérations simples de la géométrie euclidienne. Certains sont des figures planes, d’autres déploient leur structure dans l’espace. Mais si l’on applique le procédé d’itération

Nombres complexes 4ème année Maths Année scolaire 09 - 10 A. LAATAOUI Sessions antérieures Exercice N°1 (SP.2001) © r r Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé O; u; v on considère les points A et B ( ) d’affixes respectives a et 1 où a est un nombre complexe donné différent de 1. Soit f l’application de P \ {B} dans P qui’ à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle z-a que : z ' = . z-1 1. Montrer que les affixes des points invariants

HAP. 3 - N OMBRES COMPLEXES F ORMES ALGÉBRIQUES Objectif : définir un nouvel ensemble de nombres C, qui prolonge R en conservant les règles de calcul de R, et qui permette de traduire les transformations géométriques du plan par des calculs simples dans C. 3.1 Représentation d’un point du plan par un nombre complexe → → Définition : (O; − , − ) est un repère orthonormal direct du plan. u v – A tout point M de coordonnées (x, y), avec x et y réels, on associe un nombre complexe z = x + iy. −→ −

Nombres complexes I – Définition et représentation Définition : Un nombre complexe est un nombre de la forme x+iy avec x et y deux réels et i un nombre imaginaire tel que i² = -1. L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans . Théorème (admis) : On munit le plan d’un repère orthonormal direct [pic]. A tout point M de coordonnées (x ; y), on associe de manière unique le nombre complexe x+iy. Réciproquement, à tout nombre complexe x+iy