Raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné. On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0 , la propriété P(n) est vraie. Pour cela, on procède en deux étapes : Etape 1. On vérifie que P(n0 ) est vraie, Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque. On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est

Exercices sur le raisonnement par récurrence Exercice 1 : Soit  nv la suite définie par :  0 0;1v  et 1 1 2 n n v v n      a) Prouver par récurrence la propriété P : 0 1n nv  b) Prouver que  nv est croissante. c) On pose 0 cosv   avec π 0; 2       , montrer par récurrence que cos 2 n nv        Exercice 2 : Prouver par récurrence que, 2, 2n n n    est un nombre pair. Exercice 3 : Soit la suite  nu définie par : 1 1u  et 1 , 1 n n n u

Exercices sur le raisonnement par récurrence - Corrigé 1) On considère la suite définie par Montrer que pour tout entier naturel , . Montrons par récurrence la propriété : Pour tout entier naturel , Initialisation : . La propriété est vraie pour Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel tel que Conclusion : On a montré que la propriété est vraie au rang et que si vraie alors est aussi vraie. Donc pour tout entier naturel 2) On considère la suite définie pour .

Logique et raisonnement ∗ ∗ ∗ I. Éléments de logique 1. Propositions Définition 1. On appelle proposition tout énoncé mathématique qui est soit vrai soit faux. Remarque 1. 1. Si P est une proposition, on écrit P pour dire « P est vraie ». 2. Si P (x) est une proposition dépendant de x, elle sera vraie ou fausse suivant les valeurs de x : soit E un ensemble, on écrit « ∀ x ∈ E, P (x) » pour dire que « P (x) est vraie pour toute valeur de x dans l’ensemble E ». Exemples 1. 1. La proposition ∀

Complément sur les suites : Récurrence, suites récurrentes du type un +1 = f (un ) … Animations liées sur le site : Représentation graphique des termes d’une suite : cette applet java permet de représenter entre autre, les termes des suites récurrentes de la forme un +1 = f (un ) avec la fonction f de votre choix, ainsi que le terme initial voulu. Très pratique ! http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suite-un/suite_ts.php Le cours complet illustré : vous retrouverez notamment les

Lycée Marie Reynoard Accompagnement personnalisé TS Raisonnement par récurrence - Généralités sur les suites. Exercice n°1. n 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 4 + 5 est un multiple de 3. initialisation pour n=0 4 0+ 5=6=2×3 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc il existe un entier k tel que 4 n +5=3 k conclusion 4 n +5=3 k ⇔ 4×( 4 n+5)=4×3 k ⇔ 4 n+1 + 20=3×4 k ⇔ 4 n+1 +5=3×4 k −15 ⇔ 4 n+1 +5=3×( 4k−5) or 4 k −5 est un entier donc si 4 n +

68 LEÇON Différents types de raisonnement en mathématiques Niveau : Lycée Prérequis : vocabulaire de la logique : assertion, implication, équivalence, quantificateurs, négation 1 Introduction La place de la logique et du raisonnement est très importante dans les programmes du secondaire. En effet, l’étude des formes diverses de raisonement et la nécessité de distinguer implication et causalité sont essentielles à la formation mathématique. Ainsi, les mathématiques vont permettent

Fiche sur le chapitre I SAVOIR COMMENT FAIRE Utiliser un raisonnement par récurrence - On identifie clairement la propriété relative à un entier naturel que l’on se propose de démontrer. Cette propriété est : généralement donnée par l’énoncé soit conjecturée en observant les premières valeurs de Ensuite, il faut bien respecter les 2 étapes de raisonnement par récurrence : - L’initialisation ( vérifier que est vraie pour le premier indice ) - La transmission

SUITES NUMERIQUES I Raisonnement par récurrence Exemple introductif : (Un) défini pour tout n  IN par :  Un+1 = 2 Un + 1   U0 = 0  Formule Un en fonction de n ?  Calcul des premiers termes (1, 3, 7, 15, 31…) n  Conjecture : Pour tout n  IN, Un = 2 – 1  Démonstration ? n  Soit P la propriété définie pour n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certain entier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme

SUITES (Partie 1) I. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). Principe : On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré