Suite arithmético-géométrique

2012 Exercice 1 ROC 3 points On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 1) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme S n = u0 1 − qn+1 1−q 2) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 1 1 1 1 + + + + ··· + + 3 9 27 6561 Exercice 2 Visualisation d’une suite 2 points Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par : f (x) = 3 − 4 x+1 On considère la suite définie pour tout n ∈ N par : u0 = 4 un+1 = f

Arithmétiques & Géométriques I-Suites arithmétiques * On dit q’une suite (Un) est une suite arithmétique s’il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n on ait : Un+1= Un+r (formule par récurrence) R est la raison de la suite (Un), il peut etre positive ou negative. U0+r= U1+r= U2+r=U3….. * Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de montrer que, pour tout n, la différence Un+1-Un est constante. Cette constante est la raison de la suite.

complexes). Une suite (u_n)_{n \in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante : \forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b. Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p1. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique. Terme général[modifier

1 Suites Définir une suite numérique (Un), c'est associer à chaque entier naturel n, un nombre réel Un. On étudie tout particulièrement les suites de base que sont les suites arithmétiques et géométriques car leurs applications économiques sont nombreuses : progression d'une population à taux constant, valeur acquise d'un placement à intérêts simples ou à intérêts composés pour une période donnée, etc. Des formules permettent de calculer directement la somme de leurs premiers termes.

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 22 octobre 2012 Enoncés Exercice 8 [ 03497 ] [correction] Soit (un ) une suite de réels non nuls vérifiant un+1 →0 un Déterminer la limite de (un ). avec < . 1 Suites numériques Convergence d’une suite numérique Exercice 1 [ 02247 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn . et Calculs de limites Exercice 9 [ 02254 ] [correction] Déterminer la limite, si celle-ci existe

logarithmique. Chapitre 2 : Les suites. Définition d’une suite de nombre réel : Une suite de nombres réels (un)n∊N, parfois noté (un)n ou (un) est définie par la donnée pour tout entier naturel n d’un nombre réel un. Suite par récurrence : Soit un on se donne alors : - le premier terme u0 ; - et, pour tout entier naturel n une expression de un+1 en fonction du terme précédent un. On dit alors que la suite est définie par récurrence. Suite arithmétique : un+1 = un + r  un = u0 + nr Les suites

mathématiques Lundi 23 septembre 2013 Exercice 1 ROC 5 points 1) On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 a) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme 1 − qn+1 1−q b) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 1024 S n = u0 2) a) Donner la formule de la somme S n des (n+1) premier termes d’une suite arithmétique : S n = u0 + u1 + u2 + · · · + un b) Déterminer en fonction de n, la somme

mêmes : la consommation peut être modélisée par une suite géométrique. 3 b. L’augmentation est de 11 pour 1 000, ou 1,1 % par an. a. Vrai : CM − 1 = B C c. Au mois n + 1 , le montant après prélèvement est u n − 120 . La grand−mère de Nath ajoute 0,1 × ( u n − 120 ) . Le montant après le dépôt est donc : u n+1 = ( u n − 120) + 0,1 ( u n − 120 ) = ( u n − 120 ) × 1,1 . QCM – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique 1 a. Les dates sont espacées de la même durée de 10

notations Définition On appelle suite numérique toute fonction numérique définie sur sur l’ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 . a  Notations » ou La suite est notée respectivement (un )n ∈» ou (un )n ≥ n ou plus simplement (un ). 0 Le terme de rang n est noté un . b) Vocabulaire Définition Soit (un ) une suite définie sur l’ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 . On dit que : z la suite (un ) est croissante si pour tout

C H A P I T R E Suites (p. 10) Suites La variation absolue n’est pas constante. 8 6, 4 • = 0,8 et = 0,8 . Les coefficients multipli10 8 cateurs sont les mêmes : la consommation peut être modélisée par une suite géométrique. 3 b. L’augmentation est de 11 pour 1 000, ou 1,1 % par an. A Vrai ou faux ? a. Vrai : CM − 1 = Reconnaître une variation absolue ou relative 60 600 − 1 ≈ 0,25 , soit 25 % . 48 400 b. Vrai : VF = ( 1 − 0,20 ) × VD . 60 000 = 750 000 . Donc VD = 0, 8 Et 750 000