Théorème de la médiane

DEC est isocèle en D, DE = DC c'est-à-dire : DE = x – 4 BED est isocèle en E, BE = ED BE = x – 4 BC = 4 BE + EC = BC D'où : x – 4 + EC = 4 Donc : EC = 4+4 – x = 8 - x b) On se place dans le triangle ABC : Comme (ED) // (AB), on peut appliquer le théorème de Thalès dans ce triangle. CE CD ED 8– x x–4 = = . D'où : = x CB CA AB 4 c) Produit en croix : x(8 – x) = 4(x – 4) D'où : 8x – x2 = 4x – 16 16 = x2 - 4x Or, (x – 2)2 = x2 -4x + 4 D'où : 16 + 4 = (x – 2)2 c'est-à-dire : (x – 2)2 = 20 On fait

mathovore.fr - Page 2/4 (identite remarquable) • (identite remarquable) IV. Applications du produit scalaire : 1. produit scalaire et cosinus : Propriété : Soit et non nuls. 2. Théorème d'Al-Kashi : Théorème : Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a. On a : • • • 3. Théorème de la médiane : Théorème : Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] . Pour tout point M, : Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 3/4 Ce document a été téléchargé

propositions pour un parcours de santé. parcours ACDA longueur = AC + CD + DA Il manque DA. J’applique le théorème de Pythagore dans le triangle ACD rectangle en C. DA2 = DC2 + CA2 DA2 = 1, 052 + 1, 42 = 3, 0625 Une longueur est toujours positive donc DA = √ 3, 0625 = 1, 75 D’où longueur = 1, 4 + 1, 05 + 1, 75 = 4, 2 parcours AEFA longueur = AE + EF + FA il manque EF. J’applique le théorème de Thalès. ici, E′ ∈ ( AE) ; F′ ∈ ( AF) et (E′ F′ )//(EF) AE′ AF′ E′ F′ Donc = = AE AF EF

calculs que AB! = AO! + OB!. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, Je conclus que le triangle AOB est rectangle en O. J’en déduis que (OB) ! (AO) Je sais que (CD) ! (AO) et (OB) ! (AO) D’après la propriété :si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Je conclus que (CD) // (OB). 2. Démontrons que CD = 4 cm : Je sais que dans le triangle OAB : • AO = 9 • AC = 3 • OB = 12 D’après le théorème de Thalès, Je conclus que = = CD = CD = 4 La longueur

d’Al-Khwarizmi, en utilisant les notations modernes : On appelle H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. On se propose de déterminer la hauteur AH. Comme le triangle est isocèle, [AH] est aussi la médiane issue de A : donc H est le milieu de [BC]. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on peut écrire : AB2 = AH2 + BH2 AH2 = AB2 – BH2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64 AH = 8. Quelle est l’aire du triangle ABC ? = 48. On appelle x le côté du carré

Y’a-t-il dispersion ou regroupement des données ? On va rechercher la médiane d’une distribution. 1) La médiane d’une distribution Dossier usine page 82 : super salaire 1er cas : salaire moyen 1906 euros Cas dissymétrique où la moyenne est peu intéressante. La médiane est la valeur qui divise l’effectif en deux parties égales. NB : Dans les médias on dit beaucoup « un individu sur deux » plutôt que médiane. 1. Calcul à partir d’une série de valeurs 1er cas : effectif impair

Solution de Borda : Norbert Théorème de l’électeur médian • Hypothèses : • Supposons que les agents peuvent réduire les différents candidats à une seule dimension (valeur sur une échelle gauche-droite par exemple). • Chaque individu a une valeur optimale sur cette échelle (son positionnement personnel sur l’échelle gauche-droite par exemple). • Chaque individu vote en fonction de la distance entre les candidats et sa valeur optimale. 12 Théorème de l’électeur médian (2) C1 C2 Félicien C3 C4

21/01/00 7/36 Méthodes quantitatives en Sociologie Université P ul Valéry Joël Quinqueton Résumer une mesure Montpellier III Mode Médiane (et quantiles) Moyenne Variance Ecart type 21/01/00 8/36 Méthodes quantitatives en Sociologie Université P ul Valéry Joël Quinqueton Variable qualitative Montpellier III Mode Médiane (et quantiles) Moyenne Variance Ecart type type d'achat véhicule mobilier divers trésorerie # prêts 262 61 46 41 Valeur dont l’effectif

plan I Dans un triangle 1) Médiane (AA') est la médiane issue de A relative au côté [BC]. Le centre de gravité G est le point de concours des médianes du triangle ABC. GA' = AA' et AG = 2 GA' Exercices a) Construire un triangle ABC de base AB = 6 cm et dont le centre de gravité G soit tel que : AG = 4 cm et CG = 4 cm. Justifier la construction. Quelle est la nature du triangle ABC ? b) Construire, sans justification, un triangle TRI tel que la médiane issue de T "mesure" 6 cm, celle

+ 64 = 260 AB2 = 162 = 256 Comme AC2 +BC2 = AB2 , d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle. 2. Nous avons p = 16 + 14 + 8 = 38, a = 16, b = 14 et c = 8 Ainsi A = 38 38 − 16 − 14 2 2 √ √ A = 19 × 3 × 5 × 11 = 3135 38 2 38 −8 = 2 19(19 − 16)(19 − 14)(19 − 8) A + + B + H + C 2. On a AB = AE = AC, [AC] est une médiane du triangle BCE D’après la propriété de la médiane, le triangle BCE est rectangle en C 3. Comme le triangle ABC est isocèle en