Licence Sciences et Technologies UE Forces-Champs-Énergie Examen de 1ère session – 2 heures
Documents, téléphone et calculatrice non autorisés Exercice I 1/ Question de cours

22 juin 2009

Un point M décrit dans le plan Oxy une spirale logarithmique d’équation polaire OM = bθ où b est une constante positive. L’allure de cette spirale est donnée sur la figure 1. a - Placer sur la figure 1, à rendre avec votre copie, les coordonnées polaires ρ et θ du point M. b - Représenter sur la figure les vecteurs de base u ρ , u θ du système de coordonnées polaires attaché au point M ainsi que ceux du système de coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet).

{

}

Exprimer les coordonnées cartésiennes des vecteurs u ρ et u θ . On notera u x et u y les vecteurs de base du repère Oxy.
2/ Application L’angle polaire θ varie au cours du temps t suivant la loi θ = ωt , où ω est une constante positive. a - Déterminer les dérivées par rapport à l’angle polaire des vecteurs u ρ et u θ . b - En déduire en fonction de t, ω et b les composantes du vecteur vitesse V(M) dans la base des coordonnées polaires. c - Calculer la norme de V(M) . d - En déduire l’expression du vecteur vitesse dans le système de Serret-Frenet. e - Évaluer en fonction de t, ω et b les composantes polaires du vecteur accélération a (M) . Déterminer au moyen de a et de V si le mouvement de M est accéléré ou ralenti. Pouvait-on prévoir ce résultat à l’aide de la question 2c ?

Exercice II
Deux luges A et B, de masses mA et mB, sont reliées par une corde, inextensible et sans masse. Elles sont initialement immobiles sur une surface glacée plane formant un angle θ avec l’horizontale. Une force constante F , parallèle à la surface, les tire vers le haut (cf figure 2). On appellera µs et µc les coefficients de frottement statique et cinétique des patins des luges sur la glace.

A B
Figure 2

F

I

θ

1) Représenter sur la figure 2 simplifiée, à rendre avec votre copie, les forces qui s’exercent sur