Anas
1158 mots
5 pages
LPI99/2000
examcor.tex
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Éléments de corrigé Exercice 1
1. est définie sur Ê, paire et périodique, de période Ì obtient la courbe : ; de plus
´Øµ ¾
Ø si Ø
¾
¼
¾
On
2. Calculons les coefficients de Fourier Ò et Ò de la fonction – calcul de Ò : puisque – calcul de ¼ : est paire, on sait que Ò
¾ ¼;
; on a Ì
,
¾
donc
¾.
¼
½
¾
– calcul de Ò pour Ò ¾ Æ £ :
Ò
¾
¾
´Øµ
Ø
¾
¼
¾
´Øµ
Ø
¾
¾
¼
¾
Ø Ø
¾
¢¾
ؾ ¾
¾
¾
¼
¾
¾
¾
½
´Øµ Ó× ¾ÒØ
Ø
½
¼
× Ò ¾ÒØ ;
´Øµ Ó× ¾ÒØ
Ø
¾
donc Ù¼ ´Øµ
On intègre par parties, en posant ٴص et Ú ´Øµ
¾Ò
Ø et Ú ¼ ´Øµ
¼
Ó× ¾ÒØ ;
¾
Ø
Ó× ¾ÒØ
Ø
¾
¼
Ø
Ó× ¾ÒØ
Ø
on obtient donc :
Ò
¾
Ø × Ò ¾ÒØ ¾ ¾Ò ¼
¾
× Ò ¾ÒØ ¾Ò
¼
Ø
puisque × Ò
¾Ò ¾
¼,
il vient :
¾ ¼
Ò
¾½Ò
Ò
Ó× ¾ÒØ ¾Ò
¾
¼
½ ´´
¾Ò¾
½
Ó×
¾Ò ¾
Ó× ¼
d’où Si Ò pair, Ò Si Ò impair, Ò 3. (a)
¾Ô
Ò ¾Ô · ½ on a ´ ½µ
(Ô ¾ Æ £ ) on a ´ ½µÒ
¾Ô·½ ´ ½µ ¾
´
½µ¾Ô
¾Ò¾
½µÒ ½µ
½
½ donc
) et
donc
¾Ô
¼.
¾Ô·½
½ ´¾Ô · ½µ¾ .
est périodique de période Ì – sur
¼
; de plus :
ÐÑ
est continue (car Ð Ñ ¾
¾·
est dérivable sauf en ¼,
¾
et .
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– sur
¼
¾
on a
¼´Øµ
¾
¾
et sur
ÐÑ
¾ ¾
on a
Ø
¼´Øµ
¾·
¾
¼ ´Øµ
Ø
ÐÑ
¼·
¼´Øµ
Ø
¾
¼ ´Øµ
ÐÑ
¾
et
Ø
ÐÑ
¼ ´Øµ
¾
Aux points où n’est pas dérivable, ¼ admet une limite finie à gauche et à droite. Donc satisfait aux conditions de Dirichlet. (b) Comme est continue en tout point de Ê, la série de Fourier de , Ë ´Øµ
´Øµ
¼·
·½
converge vers Or, sur
¼ ¾ ¼ ¾
pour tout Ø réel.
¾
Ò
½
Ò Ó× ¾ÒØ
´Øµ
Ø et sur
¾
¾ ¾
´Øµ
Donc, sur 4. (a)
Ë ´Øµ
Ø et sur
¾Ø · ¾ Ë ´Øµ Ø · ¾
½
¾
¾
¾
Ë ´Øµ
D’après