Assurance non vie

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 8 (1819 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 22 avril 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Chapitre 6

Options am´ricaines e
Alors qu’une option europ´enne ne donne ` son d´tenteur le droit d’exercer (et d’obtenir le pay-off) e a e qu’` un instant fix´ T , l’option am´ricaine correspondante lui donne ce droit ` tout instant t ∈ [0..T ]δt := a e e a {0, δt, 2δt, . . . , T = nδt} compris entre 0 et T . Par exemple un call europ´en sur l’actif St rapportera e (ST − K)+ ` la date T et lecall am´ricain sur le mˆme actif sous-jacent rapportera, s’il est exerc´ ` la a e e ea date t, le pay-off ϕ(St ) = (St − K)+ . Nous allons dans cette le¸on apprendre ` calculer le prix d’une c a option am´ricaine et au passage nous decouvrirons quelques beaux outils du calcul stochastique comme e le th´or`me d’arrˆt optimal ou la d´composition de Doob-Meyer des surmartingales. e e e e

6.1Calcul du prix par r´currence r´trograde e e

Comme pr´c´demment, le processus (St ), d´fini pour tout t ∈ [0..T ]δt := {0, δt, 2δt, . . . , T = N δt}, e e e repr´sente l’´volution d’un actif financier au cours du temps, et on le suppose adapt´ par rapport ` une e e e a filtration (Ft ) qui repr´sente l’information disponible ` l’instant t. D´signons par Ut la valeur ` l’instant e a e a t d’une optionam´ricaine dont le pay-off est not´ ϕ(St ) (s’il exerce son option ` l’instant t, le d´tenteur e e a e e de l’option re¸oit ϕ(St )). Comment ´valuer son prix ? c On le d´termine de proche en proche ` partir de la valeur finale la valeur minimale d’un portefeuille e a de couverture. Tout d’abord, si l’option n’a pas ´t´ exerc´e avant la date finale T , elle vaudra en t = T le ee e pay-off ϕ(ST ). Al’instant pr´c´dent t = T − δt, le vendeur devra pour se couvrir disposer d’une richesse e e au moins ´gale au pay-off ϕ(ST −δt ), pour le cas o` le d´tenteur de l’option l’exercerait ` cette date, et e u e a en mˆme temps au moins ´gale ` e−rδt E(ϕ(ST )/FT −δt ) qui est le prix d’un portefeuille de couverture lui e e a permettant de faire face ` ses obligations ` la date T si le d´tenteur ne vient pasexercer avant T . On a a e peut donc ´crire pour le prix de l’option am´ricaine en T − δt : e e UT −δt = Max {ϕ(ST −δt ), e−rδt E(ϕ(ST )/FT −δt )} = Max {ϕ(ST −δt ), e−rδt E(UT /FT −δt )} Mais on peut reproduire ce raisonnement pour l’instant t = T − 2δt, et ainsi de suite. On obtient ainsi la relation de r´currence retrograde suivante : e Ut UT = Max ϕ(St ), e−rδt E(Ut+δt /Ft ) = PT (6.1)Dans le cas d’une option europ´enne, par exemple un Call, on d´duit facilement de la relation de r´currence e e e Ct = e−rδt E(Ct+δt /Ft ) la formule fondamentale Ct = e−r(T −t) E(CT /Ft ) indiquant que la valeur de l’option ` l’instant t est l’esp´rance actualis´e de son pay-off. Dans le cas d’une option am´ricaine, on a e e e ne d´duit pas facilement de cette relation (A.2) la valeur de Utdirectement comme une fonction de t et e du pay-off final ϕ(ST ) mais nous verrons qu’il existe n´anmoins une formule ferm´e de ce type, quoique e e moins explicite. Par contre, il est facile de programmer cette r´currence pour calculer la prime Ut ` tout e a instant t. On ne sera pas surpris que l’option am´ricaine soit plus ch`re, ou au moins aussi ch`re, que l’option e e e europ´enne correpondantepuisqu’elle donne plus de droits. La diff´rence entre les deux s’appelle la prime e e d’exercice anticip´ (early exercice premium). Dans quels cas a-t-on int´rˆt ` exercer de fa¸on anticip´e e e e a c e c’est-`-dire dans quels cas cette prime est-elle strictement positive ? Nous allons voir que ce n’est jamais a le cas pour un Call, sauf si l’actif sous-jacent distribue des dividendes et que par contrec’est g´n´ralement e e le cas pour un Put, ` moins de pouvoir supposer nul le taux d’int´rˆt r (ce qui ne serait pas tr`s r´aliste). a e e e e 29

30

´ CHAPITRE 6. OPTIONS AMERICAINES

Proposition 6.1 En supposant que l’actif sous-jacent St ne distribue pas de dividende, le prix d’un Call am´ricain sur St est ´gal au prix du Call europ´en de mˆme date et mˆme prix d’exercice. Autrement e...
tracking img