Chapitre 6

Options am´ricaines e
Alors qu’une option europ´enne ne donne ` son d´tenteur le droit d’exercer (et d’obtenir le pay-off) e a e qu’` un instant fix´ T , l’option am´ricaine correspondante lui donne ce droit ` tout instant t ∈ [0..T ]δt := a e e a {0, δt, 2δt, . . . , T = nδt} compris entre 0 et T . Par exemple un call europ´en sur l’actif St rapportera e (ST − K)+ ` la date T et le call am´ricain sur le mˆme actif sous-jacent rapportera, s’il est exerc´ ` la a e e ea date t, le pay-off ϕ(St ) = (St − K)+ . Nous allons dans cette le¸on apprendre ` calculer le prix d’une c a option am´ricaine et au passage nous decouvrirons quelques beaux outils du calcul stochastique comme e le th´or`me d’arrˆt optimal ou la d´composition de Doob-Meyer des surmartingales. e e e e

6.1

Calcul du prix par r´currence r´trograde e e

Comme pr´c´demment, le processus (St ), d´fini pour tout t ∈ [0..T ]δt := {0, δt, 2δt, . . . , T = N δt}, e e e repr´sente l’´volution d’un actif financier au cours du temps, et on le suppose adapt´ par rapport ` une e e e a filtration (Ft ) qui repr´sente l’information disponible ` l’instant t. D´signons par Ut la valeur ` l’instant e a e a t d’une option am´ricaine dont le pay-off est not´ ϕ(St ) (s’il exerce son option ` l’instant t, le d´tenteur e e a e e de l’option re¸oit ϕ(St )). Comment ´valuer son prix ? c On le d´termine de proche en proche ` partir de la valeur finale la valeur minimale d’un portefeuille e a de couverture. Tout d’abord, si l’option n’a pas ´t´ exerc´e avant la date finale T , elle vaudra en t = T le ee e pay-off ϕ(ST ). A l’instant pr´c´dent t = T − δt, le vendeur devra pour se couvrir disposer d’une richesse e e au moins ´gale au pay-off ϕ(ST −δt ), pour le cas o` le d´tenteur de l’option l’exercerait ` cette date, et e u e a en mˆme temps au moins ´gale ` e−rδt E(ϕ(ST )/FT −δt ) qui est le prix d’un portefeuille de couverture lui e e a permettant de faire face ` ses obligations ` la date T si le d´tenteur ne vient