Analyse 03/A-U : 2014-2015/F.Sehouli Page 1 Chapitre 04 : Séries Entières
On étudie dans ce chapitre une famille particulière des séries de fonctions : celles de la forme ou dites séries entières. On s’intéresse dans un premier temps aux propriétés de la somme d’une série entière (domaine de convergence, continuité,…), on verra ensuite comment exprimer des fonctions usuelles comme somme des séries entières.
I. Définition et domaine de convergence d’une série entière : …afficher plus de contenu…

D’où :
L’inégalité précédente signifie que la série entière converge normalement sur .
Remarque : Dire que la série entière converge normalement sur tout disque fermé ne veut pas dire qu’elle converge normalement sur le disque ouvert de convergence .
D’où : une série entière converge normalement, donc uniformément sur tout disque fermé centré en 0 inclue dans le disque ouvert de convergence.
Analyse 03/A-U : 2014-2015/F.Sehouli Page 5 II. Continuité, intégration et dérivation d’une série entière :
On considère, dans la suite, la série entière réelle .
1. Continuité :
Théorème …afficher plus de contenu…

Preuve : Ceci découle du résultat sur les séries de fonctions normalement convergentes. Soit : les fonctions sont continues sur – et la série de fonctions converge normalement vers S sur cet l’intervalle, donc S est continue sur – . Ceci est vrai pour tout
Soit maintenant , prenons est continue sur – , donc en x. Ainsi, S est continue sur – .
2. Primitive d’une série entière :
Théorème : Toute série entière , de rayon de convergence R, possède une primitive sur – donnée par

: qui est série entière de même rayon de convergence R.
Exemple : La série entière a pour somme .