Université du Québec
Sur une représentation spectrale des solutions de l’équation de Sturm-Liouville et ses puissances généralisées
Jessica Turcotte
Mémoire présenté comme exigence partielle à l’obtention
De la maîtrise en mathématiques et informatique appliquées
Trois-Rivières, Canada
Septembre, 2018Ce mémoire a été évalué par un jury composé de :
M. Sébastien Tremblay, directeur de maîtrise
Département de mathématiques et informatique
UQTR
M. Dominic Rochon, membre du jury
Département de mathématiques …afficher plus de contenu…

La fonction à valeur réelle ϕ et la constante λ sont les inconnues. On appelle les constantes λ des valeurs propres de l’équation de Sturm-Liouville, elles peuvent être complexes ou réelles selon les cas. De plus, la fonction qui l’accompagne, soit ρ(x), est une fonction de poids.
La forme auto-adjointe de l’équation de Sturm-Liouville permet de la reconnaître facilement. Par contre, lorsqu’une équation de second ordre est présentée sous sa
3CHAPITRE 1. PROBLÈMES DE STURM-LIOUVILLE 4 forme développée, il est moins évident de déterminer si elle est de Sturm-Liouville. a(x)ϕ′′(x) + b(x)ϕ′(x) + [λc(x)− d(x)]ϕ(x) = 0
On peut la réécrire sous la forme auto-adjointe en utilisant les relations suivantes. s(x) = exp
(∫ x a b(u)
a(u)du …afficher plus de contenu…

Démonstration.
i) Soit (wn) une suite complète dans V , alors tout élément de V , en particulier les vn, peuvent être approchés par une combinaison linéaire finie des premiers
(wi).
Par conséquent, (wn) est complète pour la suite des vn. ii) Soit x ∈ V et ε > 0, comme (vn) est une suite complète dans V , alors de la définition de complétude, ∃a0, a1, . . . aN ∈ K tel que∣∣∣∣∣∣∣∣x− N∑ n=0 anvn
∣∣∣∣∣∣∣∣ < ε
2 .
Supposons que |an| 6= 0 ∀n = 0, 1, · · · , N (si un |an| = 0 pour un certain n, alors on l’ignorerait simplement).
Puisque la suite (wn) est complète dans (vn), alors on a en particulier
∀n ∈ N ∃bn,0, bn,1, . . . , bn,Nn ∈ K, pour Nn ∈ N,∣∣∣∣∣∣∣∣vn − Nn∑ j=0 bn,jwj
∣∣∣∣∣∣∣∣ < ε
2(N + 1)|an|
.
Nous avons donc∣∣∣∣∣∣∣∣x− N∑ n=0 an