BTS Services informatiques aux organisations – 1re année

Éric Duquenne

Mathématiques devoirs www.cned.fr
8 2930 DG WB 00 13

Devoir 1
Pour réussir ce devoir, il faudra avoir étudié :
• l’unité 1 Logique-Ensemble-Algèbre de Boole, séquences 1 et 2 ;
• l’unité 2 Fonction d’une variable réelle, en particulier les séquences 3 et 5 ;
• l’unité 3 Suites numériques, uniquement la séquence 1.

Thèmes abordés
Calcul propositionnel.
Algèbre de Boole et tableaux de Karnaugh.
Généralités sur les suites numériques.

XXExercice 1 (Calcul propositionnel) (4,5 points)
Un stagiaire en informatique note P et Q les propositions suivantes :
P : « l’adresse IP et son masque sont connus »
Q : « l’adresse de l’hôte est connue »
1. Traduire par une phrase la proposition
2. Traduire par une phrase l’implication
3. Établir la table de vérité de
(Rappel :

P, contraire de P .

P ⇒ Q.

P ∧ Q , puis celle de P ⇒ Q

(P ⇒ Q) ⇔ (P ∨ Q) )

4. Que déduire de ces deux tables de vérité ?
5. Une tautologie est une proposition toujours vraie selon les règles du calcul propositionnel.
a.

A étant une proposition quelconque, montrer à l’aide d’une table de vérité que A ∨ A
⇔ 1 c’est-à-dire que A ∨ A est une tautologie.

b. En déduire que la proposition

(P ∧ Q) ∨ (P ⇒ Q) est une tautologie.

c. En utilisant les règles du calcul propositionnel donner la négation de (P
d. La proposition

⇒ Q) ∧ (P ∧ Q) .

(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ Q) est-elle une tautologie ? Justifier.

XXExercice 2 (Algèbre de Boole) (5 points)
Pour ses voyages d’affaire M. Paul, gérant d’une société de maintenance informatique voyage soit en avion soit en train, il se rend soit en Belgique soit en Espagne et il voyage soit avec son associé soit seul.
On notera a , b et c les variables booléennes définies par :

a = 1 pour « voyager en avion », a = 0 pour « voyager en train ». b = 1 pour « se rendre en Belgique », b = 0 pour « se rendre en espagne ». et c

= 1 pour «