E.C.S.1 Devoir libre no 1’ ` A rendre le jeudi 13 septembre 2012

2012-2013

` PROBLEME → → − − Le plan P est muni du rep`re orthonorm´ R = (O, i , j ) et l’unit´ graphique e e e est 4 cm. Dans tout le probl`me on note I l’intervalle [0, +∞[ e Premi`re partie e On note f0 et f1 les fonctions d´finies sur I par : e ∀x ∈ I, f0 (x) = e−x et f1 (x) = xe−x On note C0 et C1 les courbes repr´sentatives respectives de f0 et f1 dans le e rep`re B. e ´ 1. Etude de la fonction f1 . a. D´terminer la limite de f1 en +∞. e ´ b. Etudier le signe de f1 sur I et dresser le tableau de variation de f1 . 2. V´rifier que : e ∀x ∈ I, f1 (x) = f0 (x) − f1 (x) (1) 3. Soit x ∈ I ; on appelle M0 et M1 les points de C0 et C1 d’abscisse x. D´terminer suivant les valeurs de x les positions relatives des courbes C0 e et C1 . 4. Les graphiques. a. Comment peut-on construire la courbe C0 ` partir de celle d’´quation a e y = ex ? Dessiner C0 . b. Placer les points de C1 d’abscisses 0, 1 et 2 en pr´cisant les tangentes en e ces points ` C1 . a c. Dessiner C1 . Deuxi`me partie e On va construire une suite de fonctions f0 , f1 , f2 , . . . , fn , . . ., d´rivables sur I et e v´rifiant : e ∀x ∈ I, ∀n ∈ N ∗ , (2) fn (x) = fn−1 (x) − fn (x) fn (0) = 0

1. On pose, pour tout ´l´ment x de I, gn (x) = fn (x)ex , ou fn (x) = gn (x)e−x . ee ee a. Calculer fn (x) en fonction de gn (x) et de gn (x) pour tout ´l´ment x de I.

b. Montrer que fn satisfait aux conditions (2) si et seulement si ∀x ∈ I, ∀n ∈ N ∗ , (3) gn (x) = ex fn−1 (x) gn (0) = 0

2. Calcul de f2 . On rappelle que f1 (x) = xe−x . a. Calculer g2 (x) puis g2 (x) pour x appartenant ` I. a b. En d´duire f2 (x). e c. Montrer par r´currence que : e ∀x ∈ I, ∀n ∈ N∗ , fn (x) = Troisi`me partie e Soit a un ´l´ment non nul de I ; pour tout entier naturel n, on pose : ee a xn −x e n!

In =
0

fn (x) dx

o` fn est la fonction d´finie dans la deuxi`me partie. u e e 1. Calculer I0 (a). 2. En utilisant les conditions (2), montrer que : ∀n ∈ N∗