ACTIVITÉS

(page 436) de F peut être approchée par la loi de Y, c’est-à-dire la loi
3 

normale   0, 25 ;
.

1 600 

Activité 1
1 a) Ensemble des valeurs prises par F :
F (Ω) =

{

}

k
, k entier entre 0 et 100 .
100

1
Étant donné que la probabilité d’apparition du 1 est , on
4
25 est la valeur de F la plus probable. peut conjecturer que
100
b) X indique le nombre de succès dans un schéma de
Bernoulli d’ordre 100 et de paramètre 0,25 ; donc, la loi de
X est la loi binomiale (100 ; 0,25).
Donc :
E(X) = 100 × 0,25 = 25 et V(X) = 100 × 0,25 × 0,75 =
5 3
.
2
1
1
c) F =
X, donc E(F) =
E(X) = 0,25
100
100
1
75
3
et V(F) =
.
V(X) =
=
2
40 000 1 600
100

75
.
4

D’où σ ( X ) = V(X) =

D’où σ (F) = V(F) =

3
.
40

d) P(F = 0,25) = P(X = 25) =  100  0,2525 × 0,7575
 25 


– 4 ≈ 0,091 8 à 10 près.
P(0,24  F  0,26)  P(24  X  26)
=
= P(X = 24) + P(X = 25) + P(X = 26)
P(0,24  F  0,26) =  100  0,2524 × 0,7576
 25 


+  100  0,2525 × 0,7575 +  100  0,2526 × 0,7574 ;
 25 
 25 



 d’où P(0,24  F  0,26) ≈ 0,270 7 à 10 – 4 près.

2 a) D’après la calculatrice :
P(0,245  Y  0,255) ≈ 0,0919 à 10 – 4 près.
P(0,235  Y  0,265) ≈ 0,2710 à 10 – 4 près.
b) Les résultats de la question précédente et ceux obtenus en 1. d) sont à peu près égaux ; d’où, la conjecture : la loi

c) P(0,2  F  0,3) = P(20  X  30) = P(19,5  X  30,5) par correction de continuité.
D’où, P(0,2  F  0,3) ≈ P(0,195  Y  0,305) ≈ 0,796 0 à 10–4 près.

Activité 2
1 La fréquence observée de poissons marqués lors de la recapture n’est pas nécessairement la même que la proportion p de poissons marqués dans l’étang : cela est dû à la fluctuation d’échantillonnage.
1
1
Fp+
équivaut successivement à :
2 a) p –
25
25
1
1
1
1
 F et F  p +
;pF+
et p  F –
;
p–
25
25
25
25
1
1
pF+
. d’où F –
25
25
50
1
b) D’après la question précédente,