Correction du baccalauréat S Polynésie juin 2007

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. On peut dresser l’arbre d’une partie :
1 6 1 10

5 points

G G G G

B
5 6 1 6

9 10

B
5 6

En suivant les branches qui conduisent à un gain on obtient : 5 9 1 5 + 9 14 7 1 × + × = = = . p(G) = 10 6 10 6 60 60 30 23 2. On a p G = 1 − p(G) = . 30 1 1 p G∩B ×1 1 30 1 × = . Il faut trouver p G (B) = = 1023 6 = 60 = 23 60 23 46 p G 30 30 3. On a une épreuve de Bernoulli avec n = 4 et p(G) =
2 2

7 . 30 La probabilité de gagner exactement deux fois sur quatre parties est : 4 2 7 30 × 1− 7 30 = 25921 6 × 72 × 232 = ≈ 0, 192(0). 4 30 135000 n 0

4. La probabilité de ne gagner aucune partie sur n jouées est La probabilité d’en gagner au moins une est donc : 1 − Il faut donc trouver n tel que 1 − − ln 100 n ln 23 ⇐⇒ n 30 n 0 n 0

23 30

n

23 30

n

23 30 .

n

.

0, 99 ⇐⇒ 0, 01

23 30

n

⇐⇒

ln 100 ≈ 17, 3. 23 ln 30 Il faut donc jouer au minimum 18 fois.

Partie B 1. a. Loi de probabilité de X : X p(X = xi ) +4 7 30 −1 23 30 23 5 1 7 + (−1) × = = . 30 30 30 6

L’espérance mathématique est E(X ) = 4 ×

Correction du baccalauréat S

b. L’espérance de gain étant positive (environ 16 centimes par partie) le jeu est défavorable à l’organisateur. 1 n et p B = . 2. On reprend l’arbre initial avec p(B) = n +1 n +1 1 5 n 1 n +5 La probabilité de gagner devient p(G) = × + × = . Il suit n + 1 6 n + 1 6 6(n + 1) 5n + 1 . que p G = 6(n + 1) 5n + 1 19 − n n +5 + (−1) × = . L’espérance est donc E(X ) = 4 × 6(n + 1) 6(n + 1) 6(n + 1) 19 − n Le jeu est défavorable à l’organisateur si E(X ) < 0 ⇐⇒ 0 ⇐⇒ 6(n + 1) n 19. E XERCICE 2 4 points

1. En posant z = x + iy, avec x et y réels, z − 3iz − 3 + 6i = 0 ⇐⇒ x − iy − 3ix + x + 3y − 3 = 0 x + 3y − 3 = 0 3y −3+6i = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ −3x − y + 6 = 0 −9x − 3y + 18 = 0 x + 3y − 3 = 0 x + 3y − 3 = 0 x = 15 8 ⇐⇒ ⇐⇒ −8x − 3y + 15 = 0 −8x + 15 = 0 y = 3 8 3 15 +i . Donc cette équation a une solution