GCP 2001
COMPOSITION de MATHEMATIQUE II
(Série MP) v GCP 2001
Math II MP
Partie I
1) En développant par rapport à la première ligne on trouve det CP = (¡1na0, d’où le résultat.
2) Le plus rapide est de développer par rapport à la dernière colonne, on trouve alors
ÂCP
(X) = (¡an¡1 ¡ X)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡X 0 : : : 0
1 ¡X
. . .
0
. . .
. . .
...
0 : : : 1 ¡X
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
+ an¡2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡X 0 : : : 0
1 ¡X
. . .
...
0 : : : 1 ¡X 0
0 : : : 0 1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡ : : : et on reconnaît (¡1)n(Xn + an¡1Xn¡1 + : : : + a0) = (¡1)nP(X). remarque : si on développe par rapport à la première ligne on a en notant Ã(a0; ¢ ¢ ¢ an) le déterminant Ã(a0 ¢ ¢ ¢ an) =
(¡1)na0 ¡ XÃ(a1 ¢ ¢ ¢ an) et le résultat par récurrence.
Donck = (¡1)n.
3) Il faut et il su¢t que le terme dominant de Q soit (¡1)nXn :
² Si A existe on sait par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn
² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ
a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition: det(tCp ¡ In) = det (Cp ¡ ¸In)
b) on a tCP =
0
BBBBB@
0 1 0 : : : 0
0 0 1 : : : 0
...
. . .
. . .
...
0 : : : 0 1
¡a0 ¡a1 : : : ¡an¡1
1
CCCCCA
; si X =
0
BBB@ x1 x2
. . . xn 1
CCCA
il vient le système
8>>>>>><
>>>>>>: x2 = ¸x1 x3 = ¸x2
...
xn = ¸xn¡1
¡a0x1 ¡: : : ¡ an¡1xn = ¸xn
()
(
8i 2 [1: : :n] , xi = ¸i¡1x1
(¡a0 ¡ a1¸ ¡ : : : ¡ an¡1¸n¡1)x1 = ¸nx1
Donc x1 ne peut être nul (un vecteur propre n’est pas nul), ¸ est racine de P et tout vecteur propre est multiple de
X¸ =
0
BBB@
1
¸
. . .
¸n¡1
1
CCCA
1
c) On vient de constater que les espaces propres sont tous limités à des droites; la matrice tCP est donc diagonalisable si et seulement si il y a assez de telles droites pour engendrer l’espace entier, c’est à dire si P a n racines