Ds maths ccp mp 2001

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GCP 2001
COMPOSITION de MATHEMATIQUE II
(Série MP)
v
GCP 2001
Math II MP
Partie I
1) En développant par rapport à la première ligne on trouve det CP = (¡1na0, d’où le résultat.
2) Le plus rapide est de développer par rapport à la dernière colonne, on trouve alors
ÂCP
(X) = (¡an¡1 ¡ X)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡X 0 : : : 0
1 ¡X
. . .
0
. . .
. . .
...
0 : : : 1 ¡X
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
+ an¡2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡X 0 : : : 0
1 ¡X
. . .
...
0 : : : 1 ¡X 0
0 : : : 0 1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¡ : : :
et on reconnaît (¡1)n(Xn + an¡1Xn¡1 + : : : + a0) = (¡1)nP(X).
remarque : si on développe par rapport à la première ligne on a en notant Ã(a0; ¢ ¢ ¢ an) le déterminant Ã(a0 ¢ ¢ ¢ an) =
(¡1)na0 ¡ XÃ(a1 ¢ ¢ ¢ an) et le résultat par récurrence.
Donck = (¡1)n.
3) Il faut et il su¢t que le terme dominantde Q soit (¡1)nXn :
² Si A existe on sait par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn
² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme
polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ
a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant partransposition:
det(tCp ¡ In) = det (Cp ¡ ¸In)
b) on a tCP =
0
BBBBB@
0 1 0 : : : 0
0 0 1 : : : 0
...
. . .
. . .
...
0 : : : 0 1
¡a0 ¡a1 : : : ¡an¡1
1
CCCCCA
; si X =
0
BBB@
x1
x2
. . .
xn
1
CCCA
il vient le système
8>>>>>><
>>>>>>:
x2 = ¸x1
x3 = ¸x2
...
xn = ¸xn¡1
¡a0x1 ¡: : : ¡ an¡1xn = ¸xn
()
(
8i 2 [1: : :n] , xi = ¸i¡1x1
(¡a0 ¡ a1¸ ¡ : : : ¡ an¡1¸n¡1)x1 = ¸nx1Donc x1 ne peut être nul (un vecteur propre n’est pas nul), ¸ est racine de P et tout vecteur propre est multiple de
X¸ =
0
BBB@
1
¸
. . .
¸n¡1
1
CCCA
1
c) On vient de constater que les espaces propres sont tous limités à des droites; la matrice tCP est donc diagonalisable si
et seulement si il y a assez de telles droites pour engendrer l’espace entier, c’est à dire si P a n racinesdistinctes (et donc
simples).
La réciproque est du cours (puisque P = §ÂtCP ).
Cp est diagonalisable si et seulement si P est scindé à racines simples
d) Si P est scindé à racines simples, comme on vient de le voir une matrice de passage qui diagonalise t 0 CP est V =
BBB@
1 : : : 1
¸1 : : : ¸n
. . .
¸n¡1
1 : : : ¸n¡1
n
1
CCCA
, qui est inversible puisque matrice de passage ! Bien sûrson déterminant est connu.
5a) Méthode hors programme en PC .
b) Analyse : si f est nilpotente d’ordre n son polynôme caractéristique est (¡1)nXn . Donc P = Xn : Ce qui donne l’allure
de la matrice à chercher. Construire la base demandée est alors un grand classique sur les matrices nilpotentes:
On commence par utiliser l’hypothèse: on prend un vecteur e1 tel que f n¡1(e1) soit non nul, onalors f n (e1) = 0 et on
prend les vecteurs f (e1) = e2; : : :; f k (e1) = ek+1.
La famille ainsi construite (e1; : : : ; en) est une base:En e¤et elle est libre (et son cardinal est n) par l’absurde:
Si
Pn
i=1 ¸iei = 0 et s’il existe un i tel que ¸i 6= 0 on prend p le plus petit . Ainsi
Pn
i=p ¸if i(e1) = 0 avec ¸p 6= 0 . En
composant l’égalité par f n¡p¡1 il reste ¸pf n¡1 (e1) = 0:Absurde.
Dans cette base, on a bien
Mat(f ) =
0
BBBBBBB@
0 0 : : : 0 0
1 0
...
...
0 1
. . .
...
...
...
0 : : : 1 0
1
CCCCCCCA
Partie II
6) Par hypothèse, on a pour tout i = 1: : :n
Xn
j=1
ai;jxj = ¸xi
Par l’inégalité triangulaire,
j¸xi j ·
Xn
j=1
jai;j j:jxj j · rikXk1
7) Soit i un indice tel que jxi j = kXk1 (il existe car la famille (xi ) est …nie), dans les conditions dela question précédente.
On a alors j¸j · ri, c’est à dire ¸ 2 Di .
Ceci est vrai pour n’importe quelle valeur propre, qui appartiendra donc à l’un des disques Di. Au total,
Sp(A) ½
nS
k=1
Dk
(qui d’ailleurs n’est autre que le disque Dmax(ri)).
8) On va se servir de la première partie ! En e¤et, les racines de P sont les valeurs propres de sa matrice compagne CP . Or
r1 = ja0j r2 = 1 +...
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