Exercices avec solutions sur les séries numériques

Exercices sur les séries numériques
Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
I.
1 n2 (n!)2
(n!)2
1
1
b/∑ c/ ∑ d/∑ e/ ∑ f / ∑
∑ n(n + 1)(n + 2)
2
3 n 2 n (2n)! n ≥1 n ≥0 n + 1 n ≥0 n ≥ 2 (ln(n)) n ≥ 2 ln(n + n + 1) n ≥0 2

a/

g/

n2

∑ (n + δ )n

δ <

n ≥0

k /

∑

1
2

h/

1
1
(e n − e n +a ) a > 0

1 + 2 + ... + n

∑ 12 + 22 + ... + n 2

i/

n ≥0

l/

n ≥1

1

∑ (1-cos n )

n ≥1

j/

∑ 2-

n

n ≥0

n

∑ (n n + 1 − 1)

n ≥1

II.
Etudier la nature des séries numériques suivantes dont les termes génraux sont : n2 −n 2

⎛ 2n + 1 ⎞
⎛ an ⎞
⎛ a⎞
1/ u n = ⎜
⎟ ; 2 /un = ⎜
⎟ a > 0; 3 / u n = ⎜ 1 + ⎟ a réel ;
⎝ 3n + 4 ⎠
⎝ n +1⎠
⎝ n⎠ n a
4 /un = a > 0;
(1 + a )(1 + a ) 2 ...(1 + a ) n
1
1
1
5 / u n = an ln(1 + ) − b cos( ) + c sin( ) a , b , c réels ; n n n 1
⎡ (−1) n n + k ) ⎤ k réel ;
6 / u n = (−1) n ( n 2 + 1 − n ); 7 / u n = 2
⎦
n +1 ⎣
1
π sin x sin x
8 /un = ∫ n dx ; 9 / u n = ∫ n dx ;
2
0 1 + ch x
0 1+ x 2 n n

⎛ n ⎞
10 / u n = ⎜
⎜ n +1⎟ ;
⎟
⎝
⎠

11/ u n = (−1) n (tan

⎡ (−1) ⎤
13 / u n = ln ⎢1 + a ⎥ a > 0; n ⎦
⎣
n

1
1
− sin
);
n n 12 /

(−1) n
1
cos ; n n

1 n ; n + (−1) n n sin

14 / u n = (−1) n

15 / u n = sin ⎡π n 2 + 1 ⎤ ; 16 / u n = cos ⎡π n 2 + n + 1 ⎤ .
⎣
⎦
⎣
⎦
16 / u n = ln(n ) + a ln(n + 2) + b ln(n + 3).

III.
+∞

a/

∑u n =0

n

, un = ∫

( n +1)π

nπ

e − x sin xdx (indication : poser t = x − nπ ).

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

∑u

n

,

∑u

n

,

d/

∑u

n

e/

∑u

b/

n ≥2

c/

n ≥2

1 ⎞
⎛
u n = ln ⎜1 − 2 ⎟.
⎝ n ⎠
⎛ (−1) n u n = ln ⎜1 + n ⎝

⎞
⎟.
⎠

⎛1
⎞
, u n = sin ⎜ + n ⎟π .
⎝n
⎠

n

, u n = sin(π n 2 + 1).

(−1) n
.
α n +1
1. Montrer que la série numérique de terme général u n est convergente