A. P. M. E. P.

Baccalauréat S – Nouvelle-Calédonie
7 mars 2014 – Corrigé

E XERCICE 1

4 points

Commun à tous les candidats
Aucune justification n’était demandée dans cet exercice.
1. Réponse b. : 4e i π
Le nombre 1 + i a pour écriture complexe π 4 plexe 2 e i 4 4 = 4e i π .

2 e i 4 donc le nombre (1 + i )4 a pour écriture comπ

2. Réponse c. : (x − 1)2 + (y + 1)2 = 4

Si on appelle A le nombre d’affixe 1 − i , l’équation |z − 1 + i | =
3 − i , ou encore |z − z A

|2

=

2

3− i

⇐⇒ |z − z A

|2

3 − i équivaut à |z − z A | =

= 4.

3. Réponse c. : la suite (U n ) définie par U n = |Z n | est convergente.

1+ i
1+ i
1+ i
2
|Z n |
× |Z n | ⇐⇒ |Z n+1 | =
Z n =⇒ |Z n+1 | =
Z n ⇐⇒ |Z n+1 | =
2
2
2
2
2
2
Donc la suite U n = |Z n | est géométrique de raison
; or −1 <
< 1 donc la suite est conver2
2
gente et a pour limite 0.
Z n+1 =

4. Réponse c. : ABC est rectangle en A.
AB= |zB − zA | = 10 ; AC= 2 10 et BC= 5 2 ; BC2 = AB2 + AC2 d’où la réponse c.

E XERCICE 2

6 points

Commun à tous les candidats
Partie A
Restitution organisée des connaissances
L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χα tel que
P −χα X χα = 1 − α.
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels R par f (t ) =
Soit H la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par H (x) = P (−x

1

2π

X

t2

e− 2 .

x) =

x

f (t ) dt .

−x

1. La fonction f représente la fonction de densité de probabilité pour la loi normale centrée réduite.
2. H (0) =

0
0

f (t ) dt = 0 ; et d’après le cours lim H (x) = 1. x→+∞ 3. D’après la relation de Chasles :

x
−x

Mais la fonction f est positive donc ci-dessous, tandis que

x
0

f (t ) dt =
0
−x

0
−x

f (t ) dt +

x
0

f (t ) dt .

f