´ CONVEXITE ET APPLICATIONS

cours r´dig´ par e e

Rozenn Texier-Picard picard@bretagne.ens-cachan.fr Pr´paration a l’Agr´gation e ` e

ENS Cachan Bretagne / Universit´ Rennes 1 e

1

2

INTRODUCTION Bien que la notion de convexit´ soit connue depuis l’Antiquit´, c’est essentiellement au e e d´but du 20`me si`cle que, avec l’essor de l’analyse fonctionnelle, la convexit´ a trouv´ e e e e e de nouvelles applications en analyse. Dans ce cours, on se limitera a des notions assez fondamentales, a l’interface entre ` ` g´om´trie, analyse fonctionnelle et analyse. De nombreux livres de g´om´trie ´noncent e e e e e les r´sultats de ce cours, le plus souvent en dimension finie. Lorsque c’est possible et e int´ressant, nous nous poserons la question de la g´n´ralisation a la dimension infinie, e e e ` ` e e souvent a la base de th´or`mes importants de l’analyse. Les sections signal´es par une ast´risque, plus difficiles, peuvent permettre d’enrichir e e une le¸on sur le sujet avec des applications de haut niveau. c Les r´sultats ´nonc´s pourront notamment ˆtre utilis´s dans les le¸ons suivantes : e e e e e c – Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et applications, – Parties convexes, fonctions convexes d’une ou plusieurs variables, applications – Barycentres dans un espace affine r´el de dimension finie ; convexit´. Applications. e e mais aussi, entre autres, – Applications diff´rentiables d´finies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications. e e – Probl`mes d’extremums. e – Continuit´ et d´rivabilit´ des fonctions r´elles d’une variable r´elle. Exemples et e e e e e contre-exemples. – Suites et s´ries de fonctions. Exemples et contre-exemples. e – Formes lin´aires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications. e – Probl`mes d’angles et de distances en dimension 2 ou 3. e – Applications affines. Groupe affine. Le dernier chapitre est en cours de r´daction. Par ailleurs, ces notes contiennent encore e certainement quelques erreurs ou