Optimisation

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 101 (25128 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 29 mars 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
´ CONVEXITE ET APPLICATIONS

cours r´dig´ par e e

Rozenn Texier-Picard
picard@bretagne.ens-cachan.fr

Pr´paration a l’Agr´gation e ` e

ENS Cachan Bretagne / Universit´ Rennes 1 e

1

2

INTRODUCTION Bien que la notion de convexit´ soit connue depuis l’Antiquit´, c’est essentiellement au e e d´but du 20`me si`cle que, avec l’essor de l’analyse fonctionnelle, la convexit´ atrouv´ e e e e e de nouvelles applications en analyse. Dans ce cours, on se limitera a des notions assez fondamentales, a l’interface entre ` ` g´om´trie, analyse fonctionnelle et analyse. De nombreux livres de g´om´trie ´noncent e e e e e les r´sultats de ce cours, le plus souvent en dimension finie. Lorsque c’est possible et e int´ressant, nous nous poserons la question de la g´n´ralisation a ladimension infinie, e e e ` ` e e souvent a la base de th´or`mes importants de l’analyse. Les sections signal´es par une ast´risque, plus difficiles, peuvent permettre d’enrichir e e une le¸on sur le sujet avec des applications de haut niveau. c Les r´sultats ´nonc´s pourront notamment ˆtre utilis´s dans les le¸ons suivantes : e e e e e c – Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et applications,– Parties convexes, fonctions convexes d’une ou plusieurs variables, applications – Barycentres dans un espace affine r´el de dimension finie ; convexit´. Applications. e e mais aussi, entre autres, – Applications diff´rentiables d´finies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications. e e – Probl`mes d’extremums. e – Continuit´ et d´rivabilit´ des fonctions r´elles d’une variable r´elle. Exemples et e ee e e contre-exemples. – Suites et s´ries de fonctions. Exemples et contre-exemples. e – Formes lin´aires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications. e – Probl`mes d’angles et de distances en dimension 2 ou 3. e – Applications affines. Groupe affine. Le dernier chapitre est en cours de r´daction. Par ailleurs, ces notes contiennent encore e certainement quelques erreurs ouimpr´cisions. Le lecteur qui en trouvera est pri´ de les e e signaler a l’auteur par courrier ´lectronique : picard@bretagne.ens-cachan.fr ` e

3

Bibliographie
[1] Dominique Az´, El´ments d’analyse convexe et variationnelle e e [2] Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemar´chal, Convex Analysis and Minimization e Algorithms I, Springer-Verlag, 1996 [3] Claude Zuily, Herv´ Queff´lec, analyse pourl’agr´gation. e e e [4] Ha¨ Br´zis, Analyse fonctionnelle, Th´orie et applications ım e e [5] Patrice Tauvel, G´om´trie e e [6] Marcel Berger, G´om´trie, tome 2 e e [7] Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Optimisation et analyse convexe, Exercices corrig´s e [8] Gr´goire Allaire, Analyse num´rique et optimisation e e

4

Table des mati`res e
1 Parties convexes d’un espace affine 1.1 D´finition et le th´or`mefondamental . . . . . . . . . e e e 1.1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.2 Th´or`me fondamental de la g´om´trie affine* e e e e 1.2 Enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.2 Le th´or`me de Carath´odory . . . . . . . . . e e e 1.2.3 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Jauge d’unconvexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Projection sur un convexe ferm´, applications . . . . e 1.4.1 Dimension finie, norme euclidienne . . . . . . 1.4.2 le cas de la dimension infinie* . . . . . . . . . e e 1.4.3 Application 1 : th´or`mes de point fixe* . . . 1.4.4 Application 2 : le th´or`me de Stampacchia* . e e 1.5 Hahn-Banach et th´or`mes de s´paration . . . . . . . e e e 1.5.1 Lesth´or`mes de s´paration classiques . . . . e e e 1.5.2 Preuve dans le cas hilbertien . . . . . . . . . . 1.5.3 Preuve dans le cas d’un evn* . . . . . . . . . 1.5.4 Autres r´sultats* . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.5 Des applications* . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Points extrˆmaux et hyperplans d’appui . . . . . . . e 1.6.1 Hyperplans d’appui . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2...
tracking img