AIDE MÉMOIRE
PROBABILITES /
CALCUL
STOCHASTIQUE
Prof. Pierre Devolder
(UCL)
2009

Table des matières
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1. Eléments de probabilités
2. Processus stochastiques
3. Le mouvement brownien
4. Intégration stochastique
5. Equations différentielles stochastiques
6. Théorème de Girsanov
7. Représentation de Feynman- Kac

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1. Probabilités
Notions de base de probabilité :

(Ω , ℑ)
- espace mesurable :
Avec :
Ω = un ensemble
ℑ = une sigma algèbre sur Ω
Famille de sous ensembles de Ω telle que :
(i) Φ ∈ ℑ

(ii) si A ∈ ℑ alors A c ∈ ℑ
(iii) si A i ∈ ℑ alors

U A ∈ℑ i i

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1. Probabilités
- mesure de probabilité :

ℑ → [0,1]

Fonction P : telle que:

(i) P( φ) = 0 et P(Ω) = 1
(ii) si A i (i = 1,...) sont disjo int s :
∞

∞

i =1

i =1

P( U A i ) = ∑ P( A i )
-espace de probabilité :

triplet
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(Ω , ℑ,P)
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1. Probabilités
- variable aléatoire ( à valeurs réelles) :
Une variable aléatoire X à valeurs réelles est une fonction
ℑ mesurable:

X:Ω → R

X −1 (B) ∈ ℑ

(B= borrélien de R)

- distribution d’une variable aléatoire :

µ X (B) = P(X −1 (B))
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1. Probabilités
- fonction de répartition d’une variable aléatoire :
Borrélien :

B = (−∞, x ]

µ X (B) = P(X −1 (B)) = FX ( x ) = P( X ≤ x )
- densité de probabilité d’une variable aléatoire :
La densité f(x) d’une variable aléatoire est la dérivée de la fonction de répartition ( si elle existe) :

dFX fX = dx UCL Devolder

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1. Probabilités
- exemple 1 :variable aléatoire normale ( ou gaussienne) :
Une variable aléatoire X est distribuée normalement

N(m, σ 2 ) si sa fonction de densité existe est donnée par :
−
1 fX (x) = e σ 2π

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( x −m )2
2σ2

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1. Probabilités
- exemple 2 :variable aléatoire log normale :
Une variable aléatoire Y est distribuée log normalement

log N(m, σ 2 ) si il existe une variable