Sujet : LES PROPRIETES DE L’EQUILIBRE DE NASH

La théorie des jeux a pour fonction essentielle de définir les solutions des différents jeux (par la notion d’équilibre) et de prédire le comportement des joueurs. Les notions d’équilibre qui nous seront utiles sont notamment celles d’équilibre de Nash, un concept crée par John Nash en 1952. Il définit l’équilibre de Nash comme suit :
Dans un jeu à n joueurs G {S1,…,Sn ; U1,…,Un} le profil de stratégies (s1,…,sn) est un équilibre de Nash, si pour chaque joueur i, si* est la meilleure réponse aux stratégies des autres joueurs. Autrement dit, un équilibre de Nash est une combinaison de stratégies telle qu’aucun joueur ne peut obtenir un gain supérieur en modifiant unilatéralement sa décision.
L’équilibre de Nash possède plusieurs propriétés qui mènent à se demander si celui-ci est la solution la plus satisfaisante.
Il faudra tout d’abord remarquer que l’équilibre de Nash ne se confond pas avec l’équilibre parétien, optimal. En outre, celui-ci n’est pas forcément unique et peut même être inexistant.

I. L’équilibre de Nash n’est pas forcément Pareto-optimal

La spécification des résultats des jeux appelle la question d’optimalité. Le critère de Pareto selon lequel un état est optimal si aucun individu ne peut améliorer son utilité sans détériorer celle d’au moins un autre est souvent sollicité quant à l’appréciation des issues du jeu.
L’optimalité parétienne implique qu’un état est optimal s’il n’existe pas un état qui lui soit unanimement préféré.

Un exemple célèbre de jeu est le dilemme du prisonnier: deux suspects qui ont commis un crime ensemble sont interrogés séparément ; ils ont tous les deux le choix entre dénoncer leur complice, avec une commutation de peine, ou garder le silence. Ce jeu possède la matrice de paiement suivante, où les chiffres indiquent la durée d’emprisonnement dans chaque cas :

| dénonciation | silence | dénonciation | (-3 ;-3) | (0 ;-6) | silence | (-6 ;0) | (-1