On considère deux référentiels et , le premier référentiel étant animé de la vitesse par rapport au référentiel . Pour simplifier le calcul on travaille d'abord dans le cadre de transformations dites « spéciales », caractérisées par le fait que les systèmes d'axes x, y, z et x', y', z' sont parallèles, que les axes O ’x ’ et Ox sont communs et parallèles à la vitesse , et en supposant que quand les origines spatiales des deux référentiels étaient confondues, les horloges (fixes dans les référentiels respectifs, en O et O') indiquaient toutes deux t = 0 et t' = 0 (initialisation des horloges). Cette restriction ne nuit nullement à la généralité des résultats. On écrira ci-dessous les formules relatives à une vitesse pointant dans une direction quelconque.
Les hypothèses d'Einstein conduisent aux transformations dites « de Lorentz ». Les formules de Lorentz permettent d'exprimer les coordonnées (x, y, z, t) d'un événement donné dans le référentiel « fixe » (disons la Terre) en fonction des coordonnées (x ’, y ’, z ’, t ’ ) du même événement dans le référentiel « mobile » (disons une fusée). Elles s'écrivent :

où β et γ sont des facteurs sans dimension définis par
Ces expressions se simplifient et prennent une forme proche d'une rotation si on fait intervenir les fonctions hyperboliques de paramètre θ, appelé rapidité, qui est un angle de « rotation » dans l'espace de Minkowski, défini par
Avec ces notations on obtient et

Pour obtenir les formules correspondant à la transformation inverse il suffit de changer β en -β, et donc θ en -θ.
Une recette : pour trouver le signe à mettre devant sinh θ il suffit de considérer un point au repos dans l'un des référentiels (disons celui de la fusée, avec x ’ = 0 par exemple) et de voir quel doit être le signe de la coordonnée spatiale dans l'autre référentiel (disons le référentiel fixe dans lequel x croît si la fusée a une vitesse