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Systèmes linéaires à 2 inconnues
Emilien Suquet, suquet@automaths.com

0 Introduction

Equation linéaire à deux inconnues

2x + y = 4 est une équation linéaire à deux inconnues x et y.
La résoudre, c’est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui vérifient l’équation 2x + y = 4.
( 2 , 3 ) n’est pas un couple solution car il ne vérifie pas l’équation : 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 4
( 1 , 3 ) , ( -2 , 8 ) sont des couples solution : 2 × 1 + 3 = 7 et 2 × (-2) + 8 = 7

On dit que deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les même solutions.
Si on multiplie, divise, additionne ou soustrait les deux membres d’une équation (E) par un même nombre non nul, on obtient une équation (E’) équivalente à (E)

Système de deux équations linéaires à deux inconnues





2x+3y=8
4 x + y = 6 est un système linéaire à deux équations deux inconnues

Le résoudre, c’est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui vérifient simultanément les deux équations 2x + 3y = 8 et 4x + y = 6
( 1 , 3 ) n’est pas un couple solution car il ne vérifie pas la première équation : 2 × 1 + 3 × 3 = 11 ≠ 8
( 2 , -2 ) n’est pas une solution car il ne vérifie pas la première équation ( il vérifie pourtant la seconde )
( 1, 2 ) est un couple solution : 2 × 1 + 3 × 2 = 8 ET 4 × 1 + 2 = 6

On dit que deux systèmes sont équivalent s’ils ont exactement les mêmes solutions.
Il existe des manipulations qui permettent de transformer un système (S) en un système (S’) équivalent. Nous allons en étudier trois dans le paragraphe suivant

1

Troisième - Systèmes

I Résolution d’un système
Les manipulations A, B et C présentées ci-dessous permettent de modifier un système sans en modifier ses solutions.
Manipulation A : modification d’une équation
On peut modifier un système sans en changer ses solutions en remplaçant une de ses équations par une équation équivalente :








2x + y = 4 x – y = -1








x = y – 1 est une

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