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Pages: 6 (1290 mots) Publié le: 11 juillet 2014
Lycée Pasteur / TS / DM

Exercice n°1 : l'arc-en-ciel

Le phénomène de l'arc-en-ciel est basé sur les lois de Descartes
régissant les réflexions et réfractions de la lumière. Il n'est visible
que lorsqu'un rideau de pluie (naturel ou artificiel) est éclairé et que
l'observateur regarde ce rideau en tournant le dos à la source
lumineuse.
On se reportera à la figure 1 pour localiser lesdiverses notations de
l'exercice.
Un rayon lumineux entre en E dans une goutte d'eau sphérique avec
une incidence i : il subit une réfraction. Au point R, il subit une
réflexion. Il ressort finalement de la goutte au point S.
L'indice de réfraction de l'air est nair=1 et celui de l'eau est noté neau.
Sa valeur dépend de la longueur d'onde de la lumière.
1. On cherche à déterminer l'expressionde la déviation D en
fonction de l'angle d'incidence i et de l'indice optique de l'eau neau.
a) En considérant le triangle OEF, déterminer la relation
entre les angles i, γ et β, puis la relation entre les angles i, β et D.
b) En considérant le triangle OER, déterminer la relation entre les angles α et β.
c) En appliquant la loi de la réfraction, donner l'expression de l'angle α en fonctionde l'angle
d'incidence i et de l'indice optique neau de l'eau.
d) Rassembler les résultats des trois questions précédentes et donner l'expression de l'angle de déviation
D en fonction de l'angle d'incidence i et de l'indice optique neau.
2. La lumière blanche émise par le Soleil est en fait composée de nombreuses couleurs.
a) Comment qualifie-t-on ce type de rayonnement ?
b) On donne lafréquence ν et vitesse V de propagation dans l'eau de deux de ces couleurs :
Rayonnement
A
B
14
Fréquence v(Hz)
7,5.10
3,8.1014
Vitesse de propagation V (m/s) 2,23.108 2,25.108
Déterminer les longueurs d'onde des rayonnements A et B dans le vide.
On rappelle la valeur de la célérité de la lumière dans le vide : c=3,00.108 m/s.
Donner les couleurs de ces deux rayonnements.
c) Les fréquencesdes rayonnements changent-elles lorsque le rayon lumineux pénètre dans la goutte
d'eau ?
Qu'en est-il des longueurs d'onde ?
d) Calculer les indices de réfraction nA et nB de l'eau respectivement pour les rayonnements A et B.
Comment qualifie-t-on un milieu tel que l'eau ?
La goutte est maintenant éclairée par un large pinceau de lumière (émis par le soleil, par exemple). La goutte
est alorstouchée par une multitude de rayons entrant avec des angles d'incidence différents. L'intensité
lumineuse maximale est observée dans la direction de la déviation minimale qui correspond, on l'admettra, à
une incidence de i=60°.
3. Calculer la déviation minimale d'un rayon constitué d'un rayonnement A. Même question pour un rayon
constitué d'un rayonnement B. Conclure.
Lorsqu'un rideau depluie est éclairé par le soleil, un observateur
peut voir toutes les couleurs de l'arc-en-ciel. Ce ne sont donc pas les
mêmes gouttes qui produisent toutes les couleurs.
4. L'observateur est situé à 1,00 km du rideau de pluie (figure 2). À quelle
altitude est située la goutte qui produit le rayonnement A de l'arc-en-ciel ?
Même question pour le rayonnement B.
On négligera la taille del'observateur devant l'altitude des gouttes
considérées.
5. Que se passe-t-il lorsque l'observateur se rapproche de l'arc-en-ciel ?

Lycée Pasteur / TS / DM

Correction

Exercice n°1
1.a. Dans le triangle OEF, on a i+γ+β=π

D'autre part D+2γ=π
En éliminant γ de ces deux relations, on obtient : 2i+2β=π+D (1)
β π
b. Dans le triangle OER, on a 2α+β=π (2)
α β π
c. On applique la loi deDescartes pour la réfraction : sin(i)=neau×sin(α) (avec nair=1)
puis on inverse cette relation, ce qui donne : α=arcsin[sin(i)/neau] (3)
d. On utilise les relations 1, 2 et 3 pour éliminer β puis α, on obtient alors une relation entre D et i l'angle
d'incidence : D=π+2i-4×arcsin[sin(i)/neau]
π
×
2.a. La lumière du soleil contient plusieurs radiations, c'est une lumière polychromatique.
b. et c....
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